Stern-Gerlach 实验

深度科普|从线性代数到量子力学(4)：Stern-Gerlach实验(上) - 知乎

Stern-Gerlach 实验：当我们摆放一个垂直于 z 轴的磁场，再让一些银原子从 x 轴的方向通过磁场之后，所有的银原子自发地分裂为了两束

经典背景

经典电磁学背景

当我们把一个小通电线圈平行于 xOy 平面放置时，如果在 z 方向上存在空间上不均匀的磁场，那么它会受到一个力。根据 Ampere 力计算，其受力的大小是：

如果我们定义磁矩为 \boldsymbol{\mu} = I \boldsymbol S，其中面积 S 指向法向量，方向由电流的右手螺旋定则确定，那么上式可以写为矢量式：

直观理解：\mu 是一个常矢量，因此该公式就是 B 先投影到 \mu 上（点积），再取这个方向的变化率（梯度）。

也可以从磁荷的角度理解：磁矩可以看作两个靠的很近的磁荷构成的磁单极子，上方的正磁荷受到一个较大的力，下方的负磁荷受到一个较小的力，所以磁单极子在非匀强磁场中受到的合外力不为 0。

原子结构

当时 Bohr 已经提出半经典的氢原子的模型：电子绕着氢原子外围做匀速圆周运动，电子只能取得一些特定的离散轨道。第 n 个轨道的角动量必定为：

即轨道角动量总是 Planck 常数的整数倍。

由此得到氢原子的能量图：

其中 E_{\infty} 是电子的逃逸能量，为 13.6 eV。这个模型可以解释氢原子、类氢原子（外围只有一个电子的情形，如 \mathrm{He^+} 等）。

后来，这个模型被 Sommerfeld 扩展到一切的碱金属和类碱金属上。对于碱金属和类碱金属（如银 Ag，其电子排布式为 \mathrm{[Ar]3d^{10}4s^1}），物理学家从光谱数据上凑出其最外层电子的能量满足：

Sommerfeld 给了这个模型一个解释：他认为电子的运动是沿着椭圆轨道的。当电子在外围运动时，可以将 \mathrm{[Ar]3d^{10}} 视为一个整体，这就是类氢原子；但“近日点”时，电子会穿入里面的电子层，于是会受到 +11 的库仑力吸引，改变了能量。

Stern-Gerlach 实验

物理学家在一个高温炉中加热银单质直到它们汽化为银蒸汽，然后将银原子通过一个不均匀的磁场，最后原子打到接收屏上。

基于经典理论的预测，从加热炉里出来的银原子，其磁矩（被认为由最外层电子贡献）的方向是完全随机的，应该服从球面均匀分布 U(S^2)。将它们通过磁场后，原子会根据公式

发生偏转。由于 \mu 是随机取值，银原子受力应该也是连续随机的，所以物理学家预测银原子在接收屏上会打出连续的一片痕迹：

然而，实际的实验结果却是，银原子在通过磁场后分裂为了两束，打出了两条不同的痕迹，打出了两个斑点！

量子力学解释

现代量子力学认为，电子的磁矩必须平行于磁场方向。

级联 Stern-Gerlach 实验

现代矩阵力学解释

量子态：数学上是一个 Hilbert 空间（复内积空间）上的单位矢量，它可以完备地描述粒子的量子力学行为。其中完备是指，如果已知了量子态，我们就可以知晓它的种种演化。但是，量子态本身不是一个可以直接测量的量。

在这里，电子的自旋方向就可以用一个 2 维复单位矢量描述，

观测和坍缩：一旦我们对一个量子系统进行观测（observe），量子态矢量就会瞬间变化。

每个观测都可以与一个厄米算符（Hermite 算子）对应，或者说 Hermite 算符就描述了我们进行某个观测的过程。当量子态正好是算符的本征矢（特征向量）时，我们会得到其本征值 \lambda 作为观测结果：

如果量子态不是算符的本征矢，则根据谱定理，本征矢构成一组基，我们可以将其分解为一系列单位本征矢的线性组合：

然后，量子态发生一次瞬间变化，它以线性组合的系数的模平方 | a_i |^2 作为概率，瞬间变化为这个基 | e_i \rangle，也即 | \psi \rangle := | e_i \rangle。然后，继续按照之前的本征值理论，输出本征值 \lambda_i 作为观测结果。

在上面的过程中，量子态瞬间变化的过程称为坍缩（collapse）。坍缩过程中，系数模平方作为概率，这称为波恩法则。

任意方向的自旋算符

这是一个在诸多实验中总结的量子力学公理：

投影原理：