不确定度（uncertainty）是进行各种科学实验（不限于物理实验）中的一套数据分析方法。

国际计量局总结了不确定度的一般分析方法，发布于文件《Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement》（编号 JCGM 100:2008）之中。

不确定度的含义

一般定义

在 JCGM 100:2008 原文中，对不确定度的定义如下：

也就是说，不确定度是一个模糊的的概念，笼统指代一切描述测量有多不准确的参数。但一般实验中提到的不确定度，指的都是下文出现的标准不确定度和它的衍生概念。

不确定度与标准差

国际计量局采用了标准差来衡量一个变量的不确定度，某个变量的标准不确定度指的就是它作为随机变量的标准差。任何实验过程的变量都可以视为服从某个概率分布的随机变量，对于良好的概率分布我们总可以确定一个标准差。

不确定度的计算

直接测量的不确定度

A 类不确定度

由统计学方法可以分析得到的不确定度是 A 类不确定度（Type A Evalution of Uncertainty）。

如果我们对一个物理量独立进行了 n 次测量，取其平均值作为测量结果，那么：

作为一个随机变量就有一个标准差。由数理统计，当观测值为 x_1, \dots, x_n 时，其标准差的一个无偏估计为

B 类不确定度

统计学分析以外的方法得到的不确定度称为 B 类不确定度。在物理实验中，B 类不确定度主要由仪器的测量误差贡献。

一个仪器一般有其误差限（允差），用字母 \Delta 表示，它表示当仪器读数为 x 时，真实值一定位于 [x - \Delta, x + \Delta] 范围内。一般地，我们在没有其他信息时，如果得到了读数 a，会假设测量值服从均匀分布

从而，仪器导出的不确定度是：

仪器的误差限可以通过查阅厂商给出的仪器说明书得到。若没有说明书或其他信息，可以取其分度值作为误差限，这是因为一般来说误差不可能大于其最小刻度。

合成不确定度

一般我们把一次测量的统计误差 \delta_1 和仪器误差 \delta_2 视为互相独立的随机变量，并认为真实值 X 就是测量值 x 加上两个误差组成的：

所以，真实值 X 的方差也应该是两者方差相加：

u = \sqrt{u_A^2 + u_B^2} 称为 X 的合成不确定度。

间接测量的不确定度

基本思想

对于间接测量结果，我们的基本思想是，认为误差项 \Delta x 非常小，在平均值 x 的附近可以将函数关系 y = f(x) 的视为局部线性的，从而有 \Delta y \approx f'(x) \Delta x。设测量值为 x_0，则其附近的切线斜率为 k = f'(x_0)，标准差也相应伸缩：

而对于多元函数 z = f(x, y)，我们知道当 f 可微时，同样可以局部线性化，有增量关系：

当 X 和 Y 独立时，方差可以直接相加，又注意到 \operatorname{Var}(aX) = a^2 \operatorname{Var}(X)，自然上式就导出方差的传导公式：

常用公式

加法公式：当 Z = X + Y 时，有

乘法公式：当 Z = XY 时，有

上式也可以写成：

置信概率

对于多个不同仪器测量值叠加得到的最终数据，由中心极限定理，我们可以认为最终测量结果服从正态分布，所以，置信概率就是正态分布的 1\sigma 概率：

正态分布假设并不是每一时刻都成立，它只是成为了一套一般的处理流程。

计算机处理

在 Python 中，uncertainties 库可以完美处理实验中的不确定度。

它和 自动微分与反向传播 的原理非常类似，重载了每个函数、规定了偏导计算法则，从而在计算中自动传递不确定度。