密度函数

一元正态分布：

二元正态分布：

其中 \rho 为两者的相关系数。

多元正态分布（非退化情况）：

其中 \boldsymbol{\mu} 为均值向量，{\boldsymbol {\Sigma}} 为协方差矩阵。

退化的多元正态分布没有密度函数，但对于退化的多元正态分布，总可以找到一个子仿射集，在仿射集上有密度函数。

当多元正态分布的各个变量不相关（独立）时，有

性质

平移

平移只改变正态分布的均值。

设 n 维随机向量 X \sim N(\mu, \Sigma)，v \in \mathbb{R}^{n}，令 Y = X + v，则随机向量 Y 服从正态分布 N(\mu + v, \Sigma)。

线性变换

正态分布经过线性变换后仍然是正态分布。

设 n 维随机向量 X \sim N(\mu, \Sigma)，A \in \mathbb{R}^{m \times n}，令 Y = A X，则随机向量 Y 也服从正态分布，且 Y \sim N(A \mu, A \Sigma A^{\mathrm T})。

特殊地，对一维正态分布 X \sim N(\mu, \sigma^2)，令 Y = a X + b，则 Y \sim N(a \mu + b, a^2 \sigma^2)。

参数的变换可以通过公式 \mathbb{E}(aX+b) = a\mathbb{E}(X)+b、\operatorname{Var}(a X + b) = a^2 \operatorname{Var}(X) 来记忆。

不相关等价于独立

对于两个正态随机变量 X, Y，若 \operatorname{Cov}(X, Y) = 0，则 X 和 Y 独立。

可加性

设 n 维随机向量 X_1 \sim N(\mu_1, \Sigma_1)，X_2 \sim N(\mu_2, \Sigma_2)，且 X_1 和 X_2 相互独立，则 X_1 + X_2 仍然服从正态分布，且 X_1 + X_2 \sim N(\mu_1 + \mu_2, \Sigma_1 + \Sigma_2)。

由于独立随机变量之和的密度函数等于密度函数的卷积，可以简写为：