Bell 级数是一个和数论函数有关的形式幂级数，它可以将数论函数的 Dirichlet 卷积转化为 Bell 级数的乘积。

定义与性质

定义

设 f 是一个数论函数，p 是一个质数，则模 p 意义下的 Bell 级数定义为形式幂级数

f_p(x) = \sum_{n = 0}^\infty f(p^n) x^n.

这里可以将 f_p(x) 看作一个二元函数。

若 f 是完全积性函数，则 f(p^n) = [f(p)]^n，幂级数成为一个几何级数，有：

f_p(x) = \sum_{n = 0}^\infty [f(p) x]^n = \frac{1}{1 - f(p) x}.

两个数论函数的 Dirichlet 卷积的 Bell 级数等于它们的 Bell 级数的乘积。

若 h = f*g，则对于任意的质数 p，有：

h_p(x) = f_p(x) g_p(x).

完全积性函数 f(x) 的 Bell 级数统一为 f_p(x) = \frac{1}{1-f(p)x}。

Liouville 函数 \lambda(n)：

\lambda_p(x) = \frac{1}{1+x}.

幂函数 N^\alpha(n)：

N_p^\alpha(x) = \frac{1}{1 - p^\alpha x}.

Möbius 函数 \mu：\mu_p(x) = 1 - x. Euler 函数 \varphi：