定义

两个数论函数的 Dirichlet 卷积定义为：

性质

单位元函数

在全体数论函数构成的集合上，Dirichlet 卷积的单位元为 I(n) := [n = 1]。

也就是说，对任意数论函数 f，有 f * I = I * f = f。

逆元

对任意 f(1) \ne 0 的数论函数 f，Dirichlet 卷积运算存在逆元，它可以由如下公式递归定义得到：

• f^{-1}(1) = 1 / f(1)
• f^{-1}(n) = \frac{-1}{f(1)} \sum\limits_{\begin{matrix} d \mid n \\ d < n \end{matrix}} f\left(\frac{n}{d}\right) f^{-1}(d)

Abel（幺半）群

全体数论函数，装配上 Dirichlet 卷积运算，构成 Abel 幺半群； 全体满足 f(1) \ne 0 的数论函数 f，装配上 Dirichlet 卷积运算，构成 Abel 群。

常见函数的 Dirichlet 卷积

常函数 1

• 1 * 1 = \sigma（\sigma 为因数之和）
• 1 * N^k = \sigma_k
• 1 * \mu = I

幂函数 N^k

幂函数 N^k 指的是函数 N^k(n) = n^k。