Möbius 反演（Möbius inversion formula）是一个重要的数论公式，揭示了两类 Dirichlet 卷积之间的关系。

定理

设 I(n) = [n = 1]，1(n) = 1，则对任意数论函数 f, g 有：

f(n) = \sum_{d \mid n} g(d) \Longleftrightarrow g(n) = \sum_{d \mid n} f(d) \mu\left(\frac{n}{d}\right).

或者借助 Dirichlet 卷积的记号，写为：

f = g * 1 \Longleftrightarrow g = f * \mu.

证明

对 f = g * 1 两边与 \mu 卷积，注意到 \mu * 1 = I， I 是卷积单位元，于是得到：

f * \mu = g * 1 * \mu = g * I = g.

类似的思路，对 g = f * \mu 两边用 1 卷积，得到：

g * 1 = f * \mu * 1 = f * I = f.

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