自然科学静电场 Gauss 定理
2026-10-28·2 分钟阅读·1,074 字
Gauss 定理是静电场的一个定理，其描述为：静电场穿过曲面的电通量正比于曲面所围电荷。
描述
在静电场空间中任意选取一个曲面 \Sigma，设其包围的电荷量为 q，则穿过任意曲面的电通量正比于所围电荷，即：
\displaystyle {\int\kern{-15mu}\int\kern{-20mu}{\unicode{x2B2D}}\,\,}_{\kern{-15mu} \Sigma} \boldsymbol{E} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} = \frac{q}{\varepsilon_0}.
其中，\varepsilon_0 是真空介电常数。曲面 \Sigma 被称为 Gauss 面。
曲面的形状
尽管说是任意曲面，但如同曲面积分的 Gauss 公式一样，在数学上一般要求 Gauss 面是分片光滑曲面，这意味着：
- 曲面可以由有限片光滑曲面拼凑得到
- 每一片拼凑的曲面都是 C^1 光滑的
这一要求已经足以满足绝大多数 Gauss 面的取法，例如球面、长方体表面等。
边界点电荷
Gauss 面一般不能穿过一个点电荷，但是当穿过点电荷时，可以使用立体角确定点电荷的贡献。这类似于晶胞中原子贡献的计数。
可以把点电荷想象为一个很小的小球，Gauss 面穿过小球的球心。由于小球非常小，Gauss 面的各片光滑曲面可以近似为平面，所以这个位置可以近似为一个多面体锥形。我们只需考虑多面体锥顶点的立体角 \Omega 即可，电荷将产生 \frac{\Omega}{4 \pi}q 的贡献。
特殊地，如果穿过点电荷 Q 时 Gauss 面是光滑的（邻域内没有分片），那么点电荷的贡献就是 Q / 2。
定理推导
静电场 Gauss 定理是和 （链接未公开） 等价的静电学原理。从 Coulumb 定律推导静电场 Gauss 定理的方法如下：
考虑位于原点的点电荷发出的电场：
\boldsymbol{E} = \frac{kq}{|\boldsymbol{r}|^3} \boldsymbol{r}.
在除了原点以外的地方直接计算其散度。其三个分量是对称的，以 x 分量为例：
E_x = kq \frac{x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3 / 2}};
忽略常数系数 kq，求偏导得到
\frac{\partial E_x}{\partial x} = \frac{y^2 + z^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2 + z^2)^{5/ 2}}.
由于三个分量对称，我们可以用相同方法得到
\frac{\partial E_y}{\partial y} = \frac{z^2 + x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2 + z^2)^{5/ 2}}; \quad \frac{\partial E_z}{\partial z} = \frac{x^2 + y^2 - 2z^2}{(x^2 + y^2 + z^2)^{5/ 2}}.
三者相加得到
\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = 0.
因此在没有点电荷的地方，总有 \nabla \cdot E = 0。
由于任意一个静电场都可以视为大量点电荷发出，所以叠加后仍然有 \nabla \cdot E = 0，因此我们得到：在没有电荷的地方，电场的散度为 0。
这一段推导利用了物理学的叠加直觉。严格推导 Gauss 定理需要使用泛函分析知识。
由 （链接未公开），我们选取一个半径为 a、包裹了点电荷的小球面 S，可以得到：
\displaystyle {\int\kern{-15mu}\int\kern{-20mu}{\unicode{x2B2D}}\,\,}_{\kern{-15mu} \Sigma} \boldsymbol{E} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}
-
\displaystyle {\int\kern{-15mu}\int\kern{-20mu}{\unicode{x2B2D}}\,\,}_{\kern{-15mu} S} \boldsymbol{E} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} = 0.
而容易得到包裹点电荷的小球面的电通量就是
\displaystyle {\int\kern{-15mu}\int\kern{-20mu}{\unicode{x2B2D}}\,\,}_{\kern{-15mu} S} \boldsymbol{E} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 a^2} \cdot 4 \pi a^2
= \frac{q}{\varepsilon_0}.
均匀带电直线
E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon r}.
均匀带电平板
若一块无穷大均匀带电平行板的电荷面密度为 \sigma，则由对称性，它应该向空间中发射出一个电场，并且电场的同一水平面的电场强度应该相同。
由 Gauss 定理可以算出，距离平板高度为 h 的位置，其电场强度为
2ES = \frac{\sigma S}{\varepsilon} \implies E = \frac{\sigma}{2\varepsilon}.
这表明带电平板的电场强度与高度 h 无关，是一个匀强电场。
对于有限大的均匀带电平板，存在边缘效应，不再严格是一个匀强电场，但其中心附近依然近似是一个匀强电场，符合这个公式。