直观理解

切空间

指数映射和对数映射

指数映射：给定流形 \mathcal{M} 上的一点 x 和切平面 T_x \mathcal{M} 上的向量 v 后，沿着方向 v 的测地线走出长度为 \| v \| 的路程后，到达了点 y，这个过程称为指数映射，记为 y = \exp_x v。

指数的名称来自微分方程的推广。

• 想象复平面上单位圆 |z| = 1 在点 1 + 0i 处的切空间，它显然就是虚轴 i \mathbb{R}。当我们需要把切空间（虚轴）上的向量 v = y i 映射为单位圆上的一点时，就是在做指数映射 z = \exp(yi)。

切空间

引入

切空间是对曲面切平面的推广，我们的目标是找到一个内积空间（线性空间）来近似曲面的一个点附近的空间。

在二维曲面上，我们发现切向量和方向导数算子是一一对应的。在一般微积分中，给定向量 v 和线性空间中的函数 f，我们可以定义 f 的方向导数：

但是，对于曲面 S 来说，x + hv 不一定还落在曲面内，所以我们要换一种定义方法。我们寻找一个沿着曲面运动的质点，它的运动方程（曲线的参数方程）是 x = \gamma(t)，如果它在某一时刻 t_0 的位置恰好是 x_0，且导数 \gamma'(t_0) = v，就说明 v 是 S 在 x_0 处的一个切向量。此时，我们可以定义函数 f: S \to \mathbb{R} 的方向导数：

由此，方向导数算子 \frac{\partial}{\partial v} 被定义为了一个算子：它接受一个函数并给出一个实数。我们发现方向导数算子 \frac{\partial}{\partial v} 可以和 v 一一对应，且保持线性运算。因此，我们可以尝试直接定义“方向导数算子”，这样就定义了切空间。

定义

运动学定义

抽象定义

从 Riemann 流形 一节抽象出切向量和切空间的定义。

流形 \mathcal{M} 上，在点 p 的切向量 X_p 是 C^{\infty}(\mathcal{M}) 上的线性泛函 C^{\infty}(\mathcal{M}) \to \mathbb{R}，i.e. 它接受一个流形上的函数并返回一个实数。并且，还要求它满足 Leibniz 法则（导数乘法公式），即

满足 Leibniz 法则的线性泛函全体 \{ X_p \in (C^{\infty}(\mathcal{M}))^*: X_p(fg) = f(p) X_p(g) + g(p) X_p(f) \} 称为流形在点 p 的切空间，记为 T_p\mathcal{M}。

定义等价性

对于任意的经过点 p 的光滑曲线 \gamma，我们可以定义速度向量 \gamma'(0)，切空间 T_p\mathcal{M} 的元素将与之自然同构：

度量

性质

维数

切空间 T_p\mathcal{M} 的维数和流形的维数相同。

直观理解

对于流形 M，度量 g 是一个输入一个点 p、输出一个内积 g_p(u, v) = \langle u, v \rangle_g 的函数。在某一点 p 的度量 g_p 定义为切空间 T_p(M) 上的一个内积：

g_p 必须满足实内积三公理，即对称性、线性、正定性。

Riemann 流形还定义了内积和内积之间的连续性，也就是要求相邻两点间的内积不能变化太大。具体地，对于两个 M 上的光滑向量场 \varphi, \psi \in C^{\infty}(M, T(M))，Riemann 流形还要求函数

也是 M 上的光滑函数 C^{\infty}(M, \mathbb{R})。

例

考虑 \mathbb{R}^3 上的球面 x^2 + y^2 + z^2 = 1，这是一个流形。

测地线

变分定义

连结流形上两点 (p, q) 的曲线 \gamma: [0, 1] \to \mathcal{M} 中，能量最低的曲线定义为测地线（geodesic）。即，使得下面变分最小的曲线：

体积和积分

曲面的面积

在陈纪修《数学分析》中，给出过曲面面积的如下公式：

设曲面 \Sigma 由参数方程 x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) 确定，令 Gauss 系数

则曲面的面积为

这个公式实际上就是 Riemann 流形的体积的一种特殊情况。

诱导体积

Riemann 流形中，在坐标 x^1, \dots, x^n 下，点 p 处的诱导体积是

从而，当想要计算流形在坐标区域 (x^1, \dots, x^n) \in D 的体积时：

对于 n 维流形，这是一个 n 重积分。

积分

类比第一类曲面积分，有公式