形式幂级数和一元多项式（01.多项式）具有许多类似的性质，它们都将 x 视为形式记号，形式幂级数包含了一切的一元多项式。

定义和运算

定义

形式幂级数指的是形如 \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x^n 的表达式，其中 x 是形式变量。系数 a_n 必须取自一个环 R（因为需要定义乘法）。R 上全体形式幂级数的集合通常记为 R[ [x] ]。

也可以理解为，形式幂级数就是通过卷积运算定义了乘法的无穷数列集 \mathbb{F}^\infty，它的元素和 \mathbb{F}^\infty 的元素完全同构。

运算

乘法

形式幂级数区别于数列的最重要运算就是乘法。形式幂级数的乘法定义和多项式的乘法基本一致，只是有无穷多项。乘法结果依然是一个形式幂级数，它的第 n 项系数为：

c_n = \sum_{k = 0}^n a_k b_{n - k}.

可以看出这个定义完全不关注收敛性，也就是两个形式幂级数必定可以做乘法，但这个乘法在 x 取实数时未必收敛。

除法

有了乘法自然可以定义除法，但形式幂级数的除法往往要求定义在域上，即要求系数有逆元。

此时形式幂级数 f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x^n 和 g(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} b_n x^n 的除法定义为使得 f(x) = g(x) h(x) 成立的形式幂级数 h(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x^n。

因为乘法是用卷积定义的，类似于 Dirichlet 卷积定义的逆元，形式幂级数的除法可以由如下公式递归给出：

c_n = \begin{cases} \frac{a_0}{b_0}, & n = 0; \\ \frac{1}{b_0}\left( a_n - \sum\limits_{k=1}^n b_k c_{n - k} \right), & n \ge 1. \\ \end{cases}

由以上公式也可以看出，形式幂级数有除法或倒数的条件是 b_0 在 R 上有逆元。

导数

仿照数学分析的导数（导数），定义形式幂级数 f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x^n 的形式导数为：

f'(x) = \sum_{n = 1}^\infty n a_n x^{n - 1}.

可以验证，数学分析导数的运算规律对形式幂级数也成立：

[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)；
[f(x)g(x)]' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)；
[f(g(x))]' = f'(g(x)) g'(x)。

取常数项

对于 f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots，我们定义形式记号 f(0) = a_0，即 f(0) 表示取出 f(x) 的常数项。

结合求导和取常数项运算，容易验证 Maclaurin 公式的成立：

f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!} x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n.

特殊函数

可以利用形式幂级数定义各种特殊函数，例如指数函数等。

指数函数

借助数学分析的 Maclaurin 级数，我们可以给出形式幂级数环上 \exp 的定义：

\exp(x) = \mathrm{e}^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^n.

利用形式幂级数的定义，可以验证 \exp 具有许多和数学分析的指数函数类似的性质，例如以下性质成立：

\exp(x + y) = \exp(x) \exp(y)；
(\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x；

封闭形式

将一个形式幂级数表示为较为简单的函数（如一个有限的分式，或者 \exp(x) 这样的特殊函数）的过程，称为形式幂级数的封闭形式。

封闭形式依然是不考虑收敛性的形式幂级数。

基本封闭形式

几何级数是最基本的封闭形式公式：

1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1 - x}.

证明：只需验证形式幂级数 1 - x 和 1 + x + x^2 + \cdots 的乘积等于 1 即可。