导数
复合函数的导数
若 g(x) 在 x_0 可导，f(u) 在 u_0 = g(x_0) 可导，则 (f \circ g)(x) = f(g(x)) 在 x_0 处可导，且导数值有以下关系：
这里对 f 和 g 的要求都仅是在一点可导，不要求一个区间上可导。
反函数的导数
定理：若函数 f(x) 在区间 (a, b) 上严格递增且可导，f'(x) \ne 0，则在 (f(a^+), f(b^-)) 上 f^{-1}(x) 可导，并且 f^{-1} 的导数，等于原函数相应位置导数的倒数，即：
相应位置很重要，因为 y = f(x) 和 y = f^{-1}(x) 的图像是关于 y = x 对称的，其斜率也是对应位置才有倒数关系。例如，f^{-1} 在 x = 2 的导数，应该等于 f 在 y = 2 的导数的倒数，即 f 在 x = f^{-1}(2) 的导数的倒数。
例
f(x) = \arcsin x 的导数：因为 \arcsin x 在区间 (-1, 1) 上单调递增，且反函数是 \sin x, x \in (- \pi / 2, \pi / 2)，所以：
考研数学题：已知 f(x) 在 x = 1 附近单调，f(1) = f'(1) = \frac{1}{2}，\varphi(x) = f^{-1}\left(\frac{1}{2x}\right)，求 \varphi'(1)。
解答
方法一：由 \varphi(x) = f^{-1}\left(\frac{1}{2x}\right) 得 f(\varphi(x)) = \frac{1}{2x}，求导得到 f'(\varphi(x)) \varphi'(x) = -\frac{1}{2x^2}，代入 x = 1 得到 f'(\varphi(1)) \varphi'(1) = -\frac{1}{2}。又有 \varphi(1) = f^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 1，于是 f'(\varphi(1)) = f'(1) = \frac{1}{2}，得到 \varphi'(1) = -1。 方法二：直接求导得到 \varphi'(x) = [f^{-1}\left(\frac{1}{2x}\right)]' = (f^{-1})'\left(\frac{1}{2x}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2x^2}\right) = \frac{1}{f'\left[f^{-1}\left(\frac{1}{2x}\right)\right]} \cdot \left(-\frac{1}{2x^2}\right)，代入得 \varphi'(1) = \frac{1}{f'\left[f^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right]} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1。
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