定义

抽象多项式

抽象多项式本质上是一个维数可以任意多但总有限的数列。若 a_0, a_1, \dots, a_n \in \mathbb{F}，x 为一个形式记号（称为文字），则称形式表达式

a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0

为一个一元多项式。以 x 为文字的多项式全体记为 \mathbb{F}[x]。

这个定义要求 a_0, a_1, \dots, a_n 一定是有限个数。

提示

在初中数学，多项式被定义为多个（大于等于 2 个）单项式相加，单项式和多项式统称整式。但是在大学数学中，通常多项式 = 初中数学的整式，且不再提“整式”这个词。

当文字 x 视为数域 \mathbb{F} 上的数时，f(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 成为一个关于 x 的函数，称为多项式函数。

对于数域，多项式函数和多项式的系数一一对应。也就是说，如果有两个多项式 f(x), g(x)，对于任意 x \in \mathbb{F}，都有 f(x) = g(x)，则 f 和 g 对应项系数一定相等。但对于一般的域，未必有无限多个元素，可能存在两个不同系数的多项式构成同一个多项式函数。

警告

从定义上看，多项式函数是一个函数，是给定 x、有唯一数 f(x) 对应的关系，而多项式则只是一列数 (a_0, a_1, \dots, a_n)，两者并不天然一一对应。例如在有限域 \mathbb{F}_2 上，x 只能取 \{0, 1\}，很容易构造出系数不同而映射相同的两个多项式。

加法：对应次数的系数相加。

乘法：通过对应系数的卷积定义。若 h(x) = f(x) g(x)，三者的系数分别记为 c_i, a_i, b_i，则

c_k = \sum_{i + j = k} a_i b_j = \sum_{i = 0}^k a_i b_{k - i}.