级数 \sum_\limits{n = 1}^\infty \frac{1}{n} 称为调和级数，它发散到无穷大。
该级数发散到无穷大，说明自然数的倒数和无界，可以大于任意给定的正数。
调和级数发散证明
见 [[级数收敛性判断#p 级数#证明]] 。
调和级数与对数
调和级数与 Euler 常数 \gamma
Euler 常数 \gamma 的定义
记数列 x_n = \sum_\limits{k = 1}^n \frac{1}{k} - \ln{n} ，则该数列收敛。我们将该数列的极限记为 \gamma ，称为 Euler 常数。
数列收敛性的证明
思路：使用单调有界收敛定理。利用对数不等式，将累加转化为累乘。
由自然对数的底 \mathrm{e} 的性质，有
\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \le \mathrm{e} \le \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1};
取自然对数，变形得到
\frac{1}{n + 1} < \ln \frac{n + 1}{n} < \frac{1}{n}.
于是
x_{n + 1} - x_n = \frac{1}{n + 1} - \ln \frac{n+1}{n} < 0.
即数列单调递减。又有
\begin{aligned}
x_n &= 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln n \\
&> \ln \left(\frac{2}{1}\right) + \ln \left(\frac{3}{2}\right) + \cdots + \ln \left(\frac{n+1}{n}\right) - \ln n \\
&= \ln \left(\frac{2}{1}\times\frac{3}{2}\times\cdots\times\frac{n+1}{n}\right) - \ln n \\
&= \ln{(n + 1)} - \ln {n} = \ln{\left(\frac{n + 1}{n}\right)} > 0.
\end{aligned}
所以数列有下界。由单调有界收敛定理，该数列收敛。
Euler 常数基本性质
\gamma = 0.577 \cdots ，也即 0 < \gamma < 1 。
尚未证明 \gamma 是无理数还是有理数。
增长率
\sum_\limits{k=1}^n \frac{1}{k} 与 \ln n 是等价无穷大，也就是说
\lim_{n \to \infty} \frac{\displaystyle \sum_\limits{k=1}^{n} \frac{1}{k}}{\ln n} = 1;
或者 \sum_\limits{k=1}^n \frac{1}{k} = \Theta(\ln n) 。
这一结论由 \sum_\limits{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n 收敛即可推出（两边同除 \ln n 然后取极限）。
不等式
\ln {(n + 1)} \le \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k} \le 1 + \ln n.
这一不等式给出调和级数部分和的一个更精确的估计。
证明
思路：积分放缩，借助 \int \frac{1}{x} \mathrm{d} x= \ln x + C 证明。
不等式前半部分可由前面 调和级数 中的证明过程得到。但也可以用积分放缩方法得到。
将 1, \frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{n} 视为宽为 1 ，高为 \frac{1}{k} 的小矩形，则它们能完全盖住函数 f(x) = \frac{1}{x} 在区间 [1, n + 1] 的曲边梯形，所以：
\begin{aligned}
& 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \\
> & \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{d}x + \int_{2}^{3} \frac{1}{x} \mathrm{d}x + \cdots + \int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} \mathrm{d}x \\
= & \int_{1}^{n + 1} \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln(n + 1).
\end{aligned}
同理，将 1 单独抽出，可以发现 \frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{n} 可以被 [1, n] 的曲边梯形包含，则
\begin{aligned}
& 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \\
< & 1+ \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{d}x + \cdots + \int_{n - 1}^{n} \frac{1}{x} \mathrm{d}x \\
= & 1 + \int_{1}^{n} \frac{1}{x} \mathrm{d}x = 1 + \ln n.
\end{aligned}