投影（Projection）指的是一种降维的线性变换，它可以利用幂等来定义：

线性变换 P: V \to V 是投影变换，当且仅当 P^2 = P。

性质

在有限维线性空间中，投影算子 P 的零空间和值域可以将空间直和分解：

证明：

先证 V = \ker P + \operatorname{Im} P。任取 v \in V，则有如下分解：

显然 Pv \in \operatorname{Im} P。又有 P(v - P v) = Pv - P^2 v = Pv - Pv = 0，故 v - Pv \in \ker P。所以任意向量都可以分解为零空间和值域的之和。

又由维数公式，有 \dim V = \dim \ker P + \dim \operatorname{Im} P，故 \ker P + \operatorname{Im} P 是直和，得证。

由上述结论，令 U = \operatorname{Im} P，则 v 总是可以分解为 U 上的分量和投影中消失的分量。