引入

在定义函数的凹凸性时，我们使用过这样的定义：

若函数 f(x) 在区间 I 上满足，对任意的 x, y \in I 都有

f \left( \frac{x + y}{2} \right) \le \frac{f(x) + f(y)}{2};

则称这个函数是凹函数或者下凸函数。

Jensen 不等式就是将这个条件扩展了。对任意的下凸函数 f(x)，以及任意 n 个实数 x_1, \dots, x_n，都有：

f \left( \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} \right) \ge \frac{f(x_1) + \dots + f(x_n)}{n}.

如果进一步设函数连续，并给 n 个实数配上权重 \lambda_1, \dots, \lambda_n（满足 \lambda_1 + \cdots + \lambda_n = 1），那么有

f(\lambda_1 x_1 + \cdots + \lambda_n x_n) \le \lambda_1 f(x_1) + \dots + \lambda_n f(x_n).

其他版本

Jensen 不等式，除了上述的有限版本，其实都指向了同一个命题：若 f 是下凸函数，那么就有均值的函数值不大于函数值的均值，也就是：

f \left(\overline{x}\right) \le \overline{f(x)}.

对下凸函数和实数，有

f(\lambda_1 x_1 + \cdots + \lambda_n x_n) \le \lambda_1 f(x_1) + \dots + \lambda_n f(x_n)..

对下凸函数和数学期望，有

f(\mathbb{E}[X]) \le \mathbb{E}[f(X)].