Hausfdorff 测度是 Lebesgue 测度的推广，可以对流形、分形定义维数和“体积”，同时也可以定义分形的分数维度。

定义

设 E \subset \mathbb{R}^n，对任意 s \geq 0 和 \delta > 0，定义 Hausdorff 外测度：

其中 \operatorname{diam}(U_i) 是覆盖集 U_i 的直径。

Hausdorff 测度定义为：

当 s 为整数时，\mathcal{H}^s 与 Lebesgue 测度等价（相差常数因子）。例如，\mathcal{H}^1 是长度，\mathcal{H}^2 是面积。

定义动机和性质

• Lebesgue 测度的局限：仅能测量整数维集合（如线段是一维，平面是二维）。对分形（如康托尔集、科赫曲线）等非整数维集合，Lebesgue 测度失效。
• 对于 \mathbb{R^n} 中的 Lebesgue 可测集 E，其 Hausdorff 测度等于 Lebesgue 测度（可能相差一个比例常数）；对于流形，其 Hausdorff 测度等于流形的“面积”，因此这是 Lebesgue 测度的一种推广。
• ​推广维数概念：Hausdorff 测度允许用任意 s≥0 作为“维数参数”，从而为分形等复杂集合提供度量工具。
• ​临界维数：对集合 E，存在唯一的 s_0​ 使得当 s>s_0​ 时 \mathcal H^s(E)=0，当 s<s_0​ 时 \mathcal{H}^s(E)=∞。这个 s_0​ 称为 ​Hausdorff 维数。这个维数的存在，使得 Hausdorff 测度得以测量分形的维数。