线性映射（linear map）是线性代数中基本的研究对象，其对应的代数对象就是矩阵。线性变换（linear transformation）则是在同个空间上的线性映射。

定义

线性映射

设 V 和 W 是 \mathbb{F} 上的线性空间，若一个 V \to W 的映射 T 满足：

• 可加性：对任意 u, v \in V：T(u) + T(v) = T(u + v)；
• 一阶齐次性：对任意 k \in \mathbb{F}, u \in V，T(ku) = kT(u) 则称 T 是一个线性映射。

V 到 W 全体线性映射的集合记为 \mathcal{L}(V, W)。

线性变换

线性变换（linear transformation），也称为线性算子（linear operator），指的是定义域和陪域相同的线性映射。

V 上的全体线性变换记为 \mathcal{L}(V)。

代数

定义

设 V 是数域 \mathbb{F} 上的线性空间，如果在 V 上定义了乘法运算 \cdot: V \times V \to V，使得对任意的 a, b, c \in V 和任意的数 k \in \mathbb{F}，有：

• 结合律：(ab)c = a(bc)；
• 存在单位元 e，对任意 a \in V 有 ea = ae = e；
• 乘法对加法分配：a(b + c) = ab + ac，(a+b)c = ac + bc；
• 乘法与数乘换序：k(ab) = (ka)b = a(kb)； 则称 V 是数域 \mathbb{F} 上的代数。

实例

矩阵空间 \mathbb{R}^{n \times n} 和线性变换 \mathcal{L}(V) 都是代数。

矩阵表示

线性映射的矩阵

若给定 V 的一组基 e_1, \dots, e_n 和 W 的一组基 f_1, \dots, f_m，则线性映射可以用一个矩阵表示。

矩阵与线性变换的同构