实变复值函数
积分
一般地，实变复值函数的 f(t) = g(t) + ih(t) 的积分定义为：
\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t = \int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t + i \int_{a}^{b} h(t) \mathrm{d} t.
与复变函数的联系
若 f(z) 在区域 D \subset \mathbb{C} 上是解析函数，f 在实数轴上的限制是一个实变复值函数，则在区间 [a, b] \in \mathbb{R} 上，有
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x = \int_{a + 0i}^{b + 0i} f(z) \mathrm{d} z.
上述等式右边是一般的实变复值函数积分，右边是复变函数的（路径无关）积分。
例
计算积分 \int e^{\alpha x} \mathrm{d} x，其中 \alpha 是一个非零复数。
解法 1
设 \alpha = a + bi，则
e^{\alpha x} = e^{a x + i bx} = e^{ax} \cos bx + i e^{ax} \sin bx.
对 e^{ax} \cos bx 和 e^{ax} \sin bx 分别积分得到：
\begin{aligned}
\int e^{ax} \cos bx \mathrm{d} x &= \frac{1}{a^2 + b^2} e^{ax} (b \sin bx + a \cos bx) + C; \\
\int e^{ax} \sin bx \mathrm{d} x &= \frac{1}{a^2 + b^2} e^{ax} (a \sin bx - b \cos bx) + C;
\end{aligned}
于是有
\begin{aligned}
\int (e^{ax} \cos bx + i e^{ax} \sin bx) \mathrm{d} x &= \frac{1}{a^2 + b^2} e^{ax} [(a - ib) \cos bx + (b + ia) \sin bx] + C \\
&= \frac{1}{a^2 + b^2} e^{ax} [(a - ib) (\cos bx + i \sin bx) ] + C \\
&= \frac{a - ib}{a^2 + b^2} e^{ax} e^{ibx} + C\\
&= \frac{1}{a + bi} e^{(a + bi) x} + C.
\end{aligned}
可以注意到公式
\int e^{\alpha x} \mathrm{d} x = \frac{1}{\alpha} e^{\alpha x} + C
仍然成立。
这一做法完全符合实变复值函数的定义式，但是指数函数 e^{\alpha x} 使得这个函数的实部和虚部耦合在一起，按定义做起来非常不方便。
解法 2
复变函数 e^{\alpha z} 的原函数是 \frac{1}{\alpha} e^{\alpha z}，于是作为实变复值函数也有
\int e^{\alpha x} \mathrm{d} x = \frac{1}{\alpha} e^{\alpha x} + C.
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