数学二次曲面计算
2026-10-29·2 分钟阅读·1,006 字
二次曲面方程
已知一个单叶双曲面的虚半轴长为 1，两条实半轴长也为 1，虚轴的方向向量是 (0, 1, 1)，求单叶双曲面的方程。
主动变换角度
解答：考虑这个单叶双曲面的标准方程。假设它的虚轴在 z 轴，则标准方程为
x^2 + y^2 - z^2 = 1.
现在我们考虑做一个旋转变换，将虚轴变换到 (0, 1, 1) 上。这需要将原来的 z 轴单位向量 (0, 0, 1) 变换到 (0, 1 / \sqrt{2}, 1 / \sqrt{2}) 上。我们可以根据正交关系找出另外两个单位向量需要变换的位置，构造得
\begin{pmatrix}
x' \\ y' \\ z'
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}.
注意正交矩阵的逆矩阵就是转置，可以反解得到
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x' \\ y' \\ z'
\end{pmatrix}.
也就是
\begin{cases}
x = x'; \\
y = \frac{1}{\sqrt{2}} y' - \frac{1}{\sqrt{2}} z'; \\
z = \frac{1}{\sqrt{2}} y' + \frac{1}{\sqrt{2}} z'.
\end{cases}
代入标准方程 x^2 + y^2 - z^2 = 1：
x'^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} y' - \frac{1}{\sqrt{2}} z' \right)^2 - \left( \frac{1}{\sqrt{2}} y' + \frac{1}{\sqrt{2}} z' \right)^2 = 1
$$ 展开平方项：
x'^2 + \frac{1}{2} (y'^2 - 2y'z' + z'^2) - \frac{1}{2} (y'^2 + 2y'z' + z'^2) = 1
化简得到 $$ x'^2 - 2y'z' = 1 $$ 最后，将符号统一回常用的空间坐标 $(x, y, z)$，得到该单叶双曲面在原坐标系下的方程为： $$ x^2 - 2yz = 1
基变换角度
设这个曲面为 S，我们不知道 S 的方程，但我们可以建立一个新的坐标系 Ox'y'z'，令 z' 轴沿着 (0, 1, 1) 方向，不妨令 x' 轴和 x 轴同方向，则在新坐标轴 Ox'y'z' 下，这个单叶双曲面的轴和坐标轴重合，满足标准方程：
S: x'^2 + y'^2 - z'^2 = 1.
同时，还可以得到 Oxyz 到 Ox'y'z' 的过渡矩阵：
P = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{pmatrix}.
由此得到 Oxyz 到 Ox'y'z' 的坐标变换公式：
\begin{pmatrix}
x' \\ y' \\ z'
\end{pmatrix} =
P^{-1}
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}.
即
\begin{cases}
x' = x; \\
y' = \frac{1}{\sqrt{2}} y - \frac{1}{\sqrt{2}} z; \\
z' = \frac{1}{\sqrt{2}} y + \frac{1}{\sqrt{2}} z.
\end{cases}
代入方程得到
S: x^2 - 2yz = 1.
线性代数角度
我们直接将待求的单叶双曲面写作方程 f(x, y, z) = 1，则 f(x, y, z) 是一个二次型，我们需要求出这个二次型的具体形式。
设这个二次型对应的矩阵为 A，由于我们已知了实半轴长 a = b = 1，虚半轴长 c = 1，由半轴长与特征值的关系，有
\lambda_1 = \frac{1}{a^2} = 1, \lambda_2 = \frac{1}{b^2} = 1, \lambda_3 = - \frac{1}{c^2} = -1.
而虚轴的方向向量是 v_3 = (0, 1, 1)^{\mathrm{T}}，这表明 v_3 是对应于 \lambda_3 的一个特征向量。由于 A 是实对称矩阵，另外两个特征向量必定和 v_3 垂直，可以构造得
v_1 = (1, 0, 0)^{\mathrm{T}}, v_2 = (0, 1, -1)^{\mathrm{T}}.
令 P = (v_1, v_2, v_3)，则有
P^{-1} A P =
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & & \\
& \lambda_2 & \\
& & \lambda_3 \\
\end{pmatrix}.
于是
A = P \begin{pmatrix}
\lambda_1 & & \\
& \lambda_2 & \\
& & \lambda_3 \\
\end{pmatrix} P^{-1}
= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & - 1 & 0 \\
\end{pmatrix}.
这表明原来的二次型 f(x, y, z) = x^2 - 2yz，即这个单叶双曲面的方程为 x^2 - 2yz = 1。
三重积分
计算定积分
\iiint\limits_{\Omega} (x + y + z)^2 \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z;
其中 \Omega = \{(x, y, z): 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2xz - 2yz \le 1, 0 \le x + y + z \le \sqrt{3}\}。
思路
我们先判断 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2xz - 2yz = 1 所代表的二次曲面。