常用公式 · Sunlight

三角函数—指数函数积分：

\int e^{\lambda x} \sin \omega x \mathrm{d} x = \frac{1}{\lambda^2 + \omega^2} e^{\lambda x} (\lambda \sin \omega x - \omega \cos \omega x) + C.

\int e^{\lambda x} \cos \omega x \mathrm{d} x = \frac{1}{\lambda^2 + \omega^2} e^{\lambda x} (\omega \sin \omega x + \lambda \cos \omega x) + C.

快速推导方法：写出导数公式

(e^{\lambda x} \sin \omega x)' = \lambda e^{\lambda x} \sin \omega x + \omega e^{\lambda x} \cos \omega x; \tag{1}

(e^{\lambda x} \cos \omega x)' = - \omega e^{\lambda x} \sin \omega x + \lambda e^{\lambda x} \cos \omega x \tag{2}

则 (1) \times \omega + (2) \times \lambda 得到：

[e^{\lambda x} (\omega \sin \omega x + \lambda \cos \omega x)]' = (\omega^2 + \lambda^2) e^{\lambda x} \cos \omega x;

这就立即得出 e^{\lambda x} \cos \omega x 的原函数是 \frac{1}{\lambda^2 + \omega^2} e^{\lambda x} (\omega \sin \omega x + \lambda \cos \omega x)。

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