概念

引入

Poisson 过程，可以简单理解为某个离散变量独立、“均匀”到达的分布。例如，某服务台平均而言每小时会有 10 人访问，且相同长度的时间段内，平均而言访问的人数也相同，也就是说访问是“均匀”的。同时，访问的人数只能是 0, 1, 2, \dots 人访问，不可能有 \frac{1}{2}, \frac{1}{3} 人访问，也就是说变量是离散的，那么这个过程就是 Poisson 分布。

定义

定义 1

如果一个随机过程 \{N(t), t > 0\} 满足：

• \{N(t)\} 是计数过程；
• \{N(t)\} 的增量具有独立性：任取 0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n，则 N(t_1), N(t_2) - N(t_1), \dots, N(t_n) - N(t_{n - 1}) 相互独立；
• \{N(t)\} 的增量平稳，也即 P(N(s + t) - N(s) = n) = P(N(t) = n)；
• 对任意的 t > 0，有 P(N(\Delta t) = 1) = \lambda \Delta t + o(\Delta t)，P(N(\Delta t) \ge 2) = o(\Delta t)； 则该过程是 Poisson 过程。

定义的第 2 点刻画了到达的独立性，第 3、4 点则刻画了分布的均匀性：在一段非常短的时间内，到达一次的概率几乎与长度 \Delta t 成正比。

定义 2

若 \{X_n, n \in \mathbb{Z}^+\} 是独立同 E(\lambda) 分布的指数分布，令 S_n = \sum_{i = 1}^n X_i，N(t) 表示区间 [0, t] 内 S_i 的数量，则 \{N(t), t \ge 0\} 是 Poisson 过程。

相关概念

到达时刻：第 n 个事件到达的时刻记为 S_n，它是一个连续型随机变量。直观上，第 n 个事件到达的时刻在 t 之前，等价于 t 时刻记录的到达数大于等于 n，因此：

由此可以准确定义这个随机变量。

到达时间间隔：第 n 次到达的间隔时间记为 X_n，它也是一个连续型随机变量，可以定义为：

年龄和剩余时间：在 t 时刻，上一个事件到达的时刻为 S_{N(t)}，下一个事件到达的时刻为 S_{N(t) + 1}，

性质

分布

N(t) 和 N(s + t) - N(s) 同分布（定义），都服从泊松分布 P(\lambda t)：

X_n 相互独立，且服从指数分布：

到达时刻和时间间隔

相邻两次到达的时间间隔 X_n 服从指数分布 E(\lambda)：

第 n 次到达的时刻 S_n 服从 Gamma 分布 \Gamma(n, \lambda)（也叫 Erlang 分布）：

到达时刻的条件分布

若已知 t 时刻共有 n 个事件到达，即 N(t) = n，则 [0, t] 内这 n 个事件的到达将服从均匀分布。由于我们把事件的到达按时间排序，所以 S_1, \dots, S_n 应该与 [0, t] 的 n 个独立均匀分布随机数的顺序统计量同分布。

这一例子再次刻画了 Poisson 过程的均匀性。