Euler 积分
Beta 函数
Beta 函数，又称为第一类 Euler 积分，是一种特殊的反常积分。
对任意实数 p, q > 0，定义 Beta 函数为
B(p, q) = \int_0^1 x^{p - 1} (1 - x)^{q - 1} \mathrm{d}x.
Gamma 函数
定义 Gamma 函数 \Gamma(s) 的值为：
\Gamma(s) = \int_{0}^{+\infty} x^{s - 1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d} x.
基本性质：
- 递推：\Gamma(s + 1) = s \Gamma(s)
- 阶乘：对于非负整数 n 有 \Gamma(n + 1) = n!
- \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}
余元公式
余元公式又称为 Euler 反射定理。对任意 0 < s < 1 的实数 s，有
\Gamma(s) \Gamma(1- s) = \frac{\pi}{\sin \pi s}.
Beta 函数与 Gamma 函数的关系
对任意的正实数 p, q，有
B(p, q) = \frac{\varGamma(p) \varGamma(q)}{\varGamma(p + q)}.
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