一般来说，连续性的定义并不依赖于距离，而只需要拓扑。

连续性定义

设 f: X \to Y，其中 X 和 Y 都是拓扑空间，若对任意 Y 中的开集 A \in \mathcal{O}_Y，其对应的原像 f^{-1}(A) = \{ x \in X: f(x) \in A \} 仍是开集，则称 f 是连续函数。

可以认为，拓扑的开集已经描述了什么是“足够小的距离”，因此足够定义连续性了。

等价性

可以证明，在装配了距离的空间中，上述连续性的定义和一般的数学分析中的定义等价。

一般证明

设 N(x_0, \varepsilon) = \{x: d(x_0, x) < \varepsilon \} 表示以 x_0 为中心、半径为 \varepsilon 的开球（邻域）。

距离连续推拓扑连续：设 f: X \to Y 是距离空间定义下的连续函数，B \subset Y 是开集，我们要证 A = f^{-1}(B) 也是开集。任取 x_0 \in A，则由 A = f^{-1}(B) 知道存在 y_0 \in B 使得 y_0 = f(x_0)。由于 B 是开集，所以存在 \varepsilon_0 > 0 使得 N(y_0, \varepsilon_0) \subset B。由连续性的定义，存在 \delta_0 > 0，使得对任意的 x \in N(x_0, \delta_0) 都有 f(x) \in N(y_0, \varepsilon_0)，注意 N(y_0, \varepsilon_0) \subset B 和 A = f^{-1}(B)，因此 N(x_0, \delta_0) \subset A。注意到 x_0 是任意取的，所以 A 中任意点都可以找到一个 A 中的包裹该点的开邻域，所以 A 是开集。

拓扑连续证距离连续：设 f: X \to Y，任取 x_0 \in X，则存在 y_0 = f(x_0) \in Y。对任意充分小的正数 \varepsilon，取开球 B_{\varepsilon} = N(y_0, \varepsilon) \subset Y，则其原像 A_{\varepsilon} = f^{-1}(B_{\varepsilon}) 也是开集，且 x_0 \in A_{\varepsilon}，因此存在正数 \delta 使得 N(x_0, \delta) \subset A_{\varepsilon}，注意到 N(x_0, \delta) \subset A_{\varepsilon} = f^{-1}(B_{\varepsilon})，因此对任意 x \in N(x_0, \delta) 都有 f(x) \in B_{\varepsilon} = N(y_0, \varepsilon)，这就证明了 f(x) 的距离连续性。

第一可数空间

如果对于拓扑空间 X 上的任意一点 x，都能找到一个开集序列 B_1 \supset B_2 \supset \cdots，每个开集 B_i 都包含 x，且对于任意包含 x 的开集 U，都能找到一个序列中的开集 B_k 使得 B_k \subset U，则称 X 是第一可数空间。

所有的度量空间（距离空间）都是第一可数空间。

在第一可数空间上，拓扑连续性可以化成我们熟悉的、非常类似于 \varepsilon-\delta 定义的表述：

设 f: X \to Y，其中 X 是第一可数空间。若对任意 x \in X，设 x 的一个收敛开集序列 B_1 \supset B_2 \supset \cdots，对任意包含像点 y = f(x) 的开集 U，都可以找到 B_k，使得 f(B_k) \subset U，则称 f 是一个连续函数。