隐函数定理

一个保证隐函数存在并且给出导数的公式。

定理

设 F(x, y, z) 在点 P_0 (x_0, y_0, z_0) 的某个邻域内 C^1 光滑（存在连续偏导数），且满足

F(P_0) = 0, \quad F_z = \frac{\partial F}{\partial z} \ne 0.

则在 P_0 附近，隐函数 F(x, y, z) = 0 可以被唯一地表示为 z 关于 x, y 的显函数：

z = g(x, y).

g 在 (x_0, y_0) 附近也是 C^1 的，且导数公式成立：

\frac{\partial g}{\partial x} = - \frac{F_x}{F_z}, \frac{\partial g}{\partial y} = - \frac{F_y}{F_z}

F_z \ne 0 是一个很强的条件，它不只作为导数的分母，还能排除掉一些“奇怪”的函数。如果不满足这个条件，显函数的唯一性都无法保证。

例如，对于隐函数 y^2 = x^4，我们想要在 (0, 0) 附近确定一个显函数。这个函数可以非常奇怪，例如：

y = \begin{cases} x^2, & x \in \mathbb{Q}; \\ -x^2, & x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}. \\ \end{cases}

再例如，确定下列隐函数在 (0, 0, 1) 附近的显函数：

(x^2 + y^2 + z^2 - 1)(z - 1) = 0.

但是这几个函数就直接不满足隐函数定理的条件，它甚至不能被分类讨论为有限个函数。

设 x \in \mathbb{R}^n, y \in \mathbb{R}^m，F: \mathbb{R}^{n + m} \to \mathbb{R}^m 代表 m 个约束方程，若点 (x, y) 处的某个邻域内 F 是 C^1 光滑函数（存在连续偏导数），且满足

F(x, y) = 0, \quad |F'(x)| = \det \left( \frac{\partial F}{\partial x} \right) \ne 0.

则在 P_0 附近，隐函数 F(x, y, z) = 0 可以被唯一地表示为 z 关于 x, y 的显函数：

z = g(x, y).

g 在 (x_0, y_0) 附近也是 C^1 的，且导数公式成立：

\frac{\partial g}{\partial x} = - F_y^{-1} F_x;

其中 F_x, F_y 表示两个偏导数 Jacobi 矩阵。