不可测集

如果承认选择公理，我们将可以构造出一个Lebesgue 不可测集。

Vitali 集

最典型的一个不可测集是 Vitali 集。Vitali 集 V 构造如下。

首先，对实数集 \mathbb{R} 划分如下的等价类：对两个实数 x, y，若 x - y \in \mathbb{Q}，则定义 x 和 y 等价。使用这种方法，我们可以将区间 [0, 1] 划分为许多不相交的等价类。我们从所有等价类中任意选取一个元素（这一步使用选择公理），得到 Vitali 集 V。

不可测性

下面将使用反证法，证明 Vitali 集不可测。

首先，假设 V 可测。

我们将 [-1, 1] 中所有的有理数排成一列 q_1, q_2, \dots，定义数集的平移：

以此构造 V 的平移集：V_i = q_i + V。由于 V 可测，则 V_i 也可测，且有 m(V_i) = m(V)。

另一方面，[0, 1] 中任意的实数 x 都可以写为 v + q，其中 v \in V，q \in \mathbb{Q} \cap [-1, 1]，因为 V 包含了一个代表元。于是，[0, 1] 一定含于上文所有平移集 V_i 的交集之中：

则我们有：

而 V_i = q_i + V，由 q_i \in [-1, 1] 和 V \subset [0, 1]，得到 V_i \subset [-1, 2]，则 m \left( \bigcup\limits_{i = 1}^{\infty} V_i \right) \subset [-1, 2]，即

由 V_i 的构造方法，显然 V_i 之间互不相交，则

则

但对任意实数 x，\sum\limits_{i = 1}^{\infty} x 要么是 0，要么是 \infty，因此上式是不可能成立的。最终推出矛盾，V 不可能是一个可测集。

外测度

参考：这个不可测集的外侧度是多少？ - 知乎

尽管 Vitali 集不可测，但我们仍然可以计算它的外测度，它的外测度依赖于代表元素的选择。

对于任意小的正数 \epsilon，我们可以在 [0, \epsilon] 中取到所有等价关系所需的代表元（因为有理数是稠密的，我们可以用有理数平移这些代表元到区间中），此时 m^*(V) \subset [0, \epsilon]，因此 m^*(V) < \epsilon。

而 Vitali 集的外测度又不可能为 0，因为外测度为 0 的集合都是可测集。

实际上，有如下的定理：通过选择适当的代表元，Vitali 集的外测度可以是 (0, 1] 的任意数。