参考：

• 【【兰风】如何给函数开根号？】 https://www.bilibili.com/video/BV123h36pEBT

定义

对于一个连续实双射函数 f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}，如果能找到一个函数 g，满足 g(g(x)) = f(x)，我们可以把 g 称为 f 的平方根。

如果我们用 f^n(x) 表示 \underbrace{f ( f ( \cdots f}_{n\text{ 个 }f}(x) \cdots ))，那么 f 的平方根可以记为 f^{- \frac{1}{2}}

例子

• 对于函数 f(x) = x + 1，其一个平方根函数就是 g(x) = x + \frac{1}{2}；
• 对于函数 f(x) = 2x，其一个平方根函数就是 g(x) = \sqrt{2} x；
• 对于函数 f(x) = x^2，其一个平方根函数就是 g(x) = x^{\sqrt{2}}。

定理

在一元实连续双射函数上，一个函数拥有平方根，则一定是递增函数。

构造

我们尝试把各种函数应用一个新的坐标标尺，在新的坐标标尺上，函数 f 作用一次，等价于向右平移一格。