开集与拓扑

拓扑空间就是定义了“开集是什么”的空间，这个定义不依赖于距离。

定义

对于一个集合 X，若其上装备了一个集族 \mathcal{O} \subset \mathcal{P}(X)（其中的元素称为开集，其中 \mathcal{P}(X) 表示集合的幂集），且集族 \mathcal{O} 满足下面三条开集公理：

• \emptyset \in \mathcal{O}, X \in \mathcal{O}
• \forall A, B \in \mathcal{O}: A \cap B \in \mathcal{O}（有限个开集之交是开集）
• 若所有的 A_{\alpha} \in \mathcal{O}，其中 \alpha 是指标，则 \bigcup_{\alpha} A_\alpha \in \mathcal{O}（无限个开集之并是开集） 则称 (X, \mathcal{O}) 是一个拓扑空间。

距离空间与拓扑空间

注意到，距离空间中，距离必须满足三公理：

• 正定性：d(x, y) \ge 0；d(x, y) = 0 当且仅当 x = y
• 对称性：d(x, y) = d(y, x)
• 三角不等式：d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)

对一个距离空间 (X, d)，我们可以用距离导出一个开集的定义： 一个集合 A \subset X 是开集，当且仅当对任意的点 x \in A，存在一个实数 \delta > 0 使得 N(x, \delta) \subset A，其中 N(x, \delta) 指的是 x 的半径为 \delta 的开邻域 \{x' \in X: d(x', x) < \delta \}。