含参积分的导数
核心问题：计算如下函数的导数：
g(x) = \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x, u) \mathrm{d}u.
这一积分的特点是，被积函数和上下限都含有变量（或参量） x。
公式
当 f(x, u) 和 \frac{\partial f(x, u)}{\partial x} 都在 [a, b] \times [c, d] 连续，\alpha(x), \beta(x) 在 [a, b] 上可微，且 c \le \alpha(x), \beta(x) \le d 时，上述积分的导数公式如下：
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{\alpha (x)}^{\beta(x)} f(x, u) \mathrm{d}u = \int_{\alpha (x)}^{\beta(x)} \frac{\partial f(x, u)}{\partial x} \mathrm{d}u + f(x, \beta(x))\beta'(x) - (x, \alpha(x)) \alpha'(x).
证明
构造三元函数 F(x, \alpha, \beta) = \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} f(x, u) \mathrm{d}u，则容易计算出：
\frac{\partial F(x, \alpha, \beta)}{\partial x} = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{\partial f(x, u)}{\partial x} \mathrm{d}u;
\frac{\partial F(x, \alpha, \beta)}{\partial \alpha} = -f(x, \alpha);
\frac{\partial F(x, \alpha, \beta)}{\partial \beta} = f(x, \beta).
将 \displaystyle\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x, u) \mathrm{d}u 看作复合函数 F(x, \alpha(x), \beta(x))，运用多元函数的链式法则，有：
\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{\alpha (x)}^{\beta(x)} f(x, u) \mathrm{d}u \\ =& \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial \alpha} \alpha'(x) + \frac{\partial F}{\partial \beta} \beta'(x) \\ =& \int_{\alpha (x)}^{\beta(x)} \frac{\partial f(x, u)}{\partial x} \mathrm{d}u + f(x, \beta(x))\beta'(x) - f(x, \alpha(x)) \alpha'(x). \end{aligned}
特例
当上下限为常数时，退化为普通的含参积分求导公式；当被积函数不含参数时，退化为积分上限函数的导数（需使用一元链式法则）。
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