可测函数（measurable function）是保持空间某种可测性的函数。在实变函数科目中，它通常指 Lebesgue 可测函数，它保持集合的 Lebesgue 可测性。

定义

Lebesgue 可测函数

设 E \subset \mathbb{R} 是 Lebesgue 可测集，f(x) 是 E 上的一元实函数（允许取值无穷大）。记符号 E(f \in A) 表示 A 对应的原像，即：

若对任意实数 \alpha，E(f > \alpha) 恒可测，则称 f 是 E 上的 Lebesgue 可测函数。

可测空间

参见：（链接未公开）

可测函数的定义离不开可测空间（measurable space）。一个可测空间指的是一个集合 S 以及该集合上的一个 \sigma 域 \mathscr{A} 组成的二元组 (S, \mathscr{A})。对于任意 S 的子集 T，若 T \in \mathscr{A}，则称 T 是可测（measureable）的。

可测空间的定义并不需要测度，只需要在一个集合上装配一个 \sigma 域。但一个集合上如果能装备测度，则一定对应某个可测空间。例如，实数和实数上的 Lebesgue 可测集构成一个可测空间；概率空间 (\Omega, \mathscr{F}, P) 中 (\Omega, \mathscr{F}) 也构成一个可测空间。

Borel 可测空间和 Lebesgue 可测空间是两种经典的 \mathbb{R} 上的可测空间。

一般可测函数

设 (X, \mathscr{A}) 和 (Y, \mathscr{B}) 是两个可测空间，若对任意 B \in \mathscr{B}，成立

则称 f 是一个可测函数。

Lebesgue 可测函数对应 X 和 Y 都取 \mathbb{R}，且 \sigma 域取 Lebesgue 可测集类的情形，而 Borel 可测函数则对应 X 和 Y 均取 \mathbb{R}，且 \sigma 域取 Borel 域的情况。

（链接未公开） 是一种典型的可测函数。