线性无关和基

张成空间（span）：在无穷维空间中，我们可以定义无限个向量的张成。设 A 是一个可重向量集（在谢启鸿高代中称作向量族），则 A 的张成定义为有限个向量的线性组合

也就是说，尽管我们可以讨论无限集的张成，但为了避免收敛性问题，我们仍然只处理有限个元素的加法。

线性无关：对于一个向量族 A，如果对于任何其有限子集 \{v_1, \dots, v_n\} \subset A 都有 \{v_1, \dots, v_n\} 线性无关，那么称 A 是线性无关的。

Hamel 基：同有限维线性空间的基一样，定义如下：在线性空间 V 中，如果向量族 A 是线性无关的，且 \operatorname{span}(A) = V，那么 A 是 V 的一组 Hamel 基。在有限维线性空间中，Hamel 基的定义和一般的基一致。

维数：承认选择公理的情况下，可以证明任意线性空间都具有 Hamel 基，且它们作为一个集合的势都相等。这个集合的势称为线性空间的维数。

例如，多项式空间 \mathbb{K}[x] 的维数是 \aleph_0，但是形式幂级数空间 \mathbb{K}[[x]] 或与其同构的数列空间 \mathbb{K}^{\infty} 的维数却不是 \aleph_0。直观上看 \{1, x, x^2, \dots\} 似乎是后者的一组基，但是一般的形式幂级数需要这组基的无穷项做线性组合，违背了 Hamel 基的定义。

线性算子

乘法算子：在连续函数组成的线性空间 \mathcal{C}(D) 中，任取一个函数 g \in \mathcal{C}(D)，则

是一个线性算子，称为乘法算子。例如，T(f)(x) = xf(x) 是一个乘法算子。

这个算子对应的有限维情况是 T(x_1, \dots, x_n) = (a_1 x_1, \dots, a_n x_n)，看起来就像向量 (a_1, \dots, a_n) 和 (x_1, \dots, x_n) 的 Hadamard 积。它对应的矩阵实际上是 \operatorname{diag}(a_1, \dots, a_n)。