一元函数的微分形式

切空间

定义一个算子 \left. \frac{\partial}{\partial x} \right|_{p}，它表示计算一个可微函数在 p 处的导数值，即

由此，我们把这个算子视为一个基向量，定义一个算子的一维线性空间，称为切空间：

也就是说，这个空间定义了所有取出 p 点导数值 k 倍的算子。

余切空间

对于切空间，我们可以定义它的对偶空间 T_p^*(\mathbb{R})，称为余切空间。

余切空间的元素称为余切向量或者 1-形式，它接受一个切空间的算子，并输出一个实数。1-形式一般记为 \omega。

当切空间以 \left. \frac{\partial}{\partial x} \right|_{p} 为基时，余切空间关于切空间的对偶基记为 dx，也即：

微分

对于函数 g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}，设 q = g(p)，我们定义它在 p 点的微分 dg_p 为一个切空间的映射：

这个映射的具体法则为，给出一个切空间上的算子 v \in T_p\mathbb{R}，定义微分 dg_p(v)(h) 为一个前推映射，即 v 作用在复合函数 h \circ g 之上的结果：

可以验证，d g_p 是一个线性映射。

可以由链式法则证明，dg_p 表征了两个切空间之间的变换：

证明：只需证明两边作用于任何函数 h 后都相等。任取 u 空间上的函数 h(u)，则

微分与导数

在微积分中，有 du = g'(x) dx 成立。但是在上述定义中，du 和 dx 属于两个不同的切空间 T_q(\mathbb{R}) 和 T_p(\mathbb{R})，因此等号不能直接成立。

可以想到，由 g 导出一个拉回（pullback）映射 g^*：

拉回映射定义在余切空间中，它是推前映射（微分）dg_p 的对偶映射。具体地说，给定任意余切空间中的 1-形式 \omega，拉回映射作用后的的定义为

由此可以导出：

证明：任取 v \in T_p^* \mathbb{R}，可以将其写为 v = k \left. \frac{\partial}{\partial x} \right|_{p}，下文将 \left. \frac{\partial}{\partial x} \right|_{p} 简记为 \partial_x。则只需证明

恒成立。

计算得 \text{LHS} = g^* (du_q)(v) = du_q(dg_p(v)) = du_q(dg_p(k \partial_x))。注意 dg_p 是线性映射，且 dg_p(\partial_x) = g'(p) \partial_u，所以 \text{LHS} = du_q(k g'(p) \partial_u)。注意到 du_q 是线性映射，且是 \partial_u 的对偶基，所以 \text{LHS} = k g'(p) du_q(\partial_u) = k g'(p)。

另一边，计算得 \text{RHS} = g'(p) dx_p (k \partial_x)。注意到 dx_p 是线性映射，且是 \partial_x 的对偶基，所以 \text{RHS} = k g'(p) dx_p (\partial_x) = k g'(p)。

综合两式，要证的等式恒成立，所以 g^*(du_q) = g'(p) dx_p。

一般情况下，上下文明确时 g^* 可以省略，因此就回到了基本微分关系式 du_q = g'(p) dx_p。