向量组的秩描述了向量组可以张成多大的空间，而矩阵的秩则描述了经过一个矩阵变换后的空间维数。

定义

向量组的极大无关组与秩

一个向量组 A \subset \mathbb{F}^n 的极大无关组 v_1, \dots, v_r 指的是满足以下两个条件的一个子向量组：

• v_1, \dots, v_r 线性无关
• 任意一个 v \in A 均可以写为 v_1, \dots, v_r 的线性组合。

所有极大无关组的向量个数都相等，将极大无关组的向量个数称为这个向量组的秩（rank）。

从线性空间的角度看，向量组 A 的极大无关组就是其张成空间 \operatorname{span}(A) 的一组基，其秩就等于张成空间的维数 \dim\operatorname{span}(A)。

矩阵的秩

一个矩阵的行秩（row rank）指的是矩阵行向量组的秩，也就是行向量组张成空间的维数。同样地，矩阵的列秩（column rank）指的是矩阵列向量组的秩，也就是列向量组张成空间的维数。

下面会看到矩阵的行秩等于列秩，所以两者统称为矩阵的秩（rank）。由于该定义通过张成的空间的维数这样的几何性质表示，因此一般称为秩的几何定义。

矩阵的秩也可以用行列式定义，它指的是矩阵里最大的非零子行列式的阶数，这种定义称为秩的代数定义。

相抵关系

若存在可逆矩阵 P, Q 使得 B = P A Q，则称 A 和 B 相抵（或等价）。

基本定理

行秩等于列秩

可以通过对偶空间证明。

几何秩等于代数秩

秩的计算

无论是计算向量组的线性无关组与秩，还是计算矩阵的秩，都需要用初等行变换方法消到阶梯型。

矩阵

使用 Gauss 消元法将矩阵消至行阶梯型，非零行的数量就是矩阵的秩。

向量组

将向量按列拼起，用 Gauss 消元法变换到行阶梯型，非零行的数量就是向量组的秩，行阶梯点所在的列就是向量的极大无关组下标。

秩的性质

概念

对于一个 m \times n 矩阵 A，若 r(A) = m，则称 A 行满秩；若 r(A) = n，则称 A 列满秩；若 A 是方阵，行满秩和列满秩统称满秩。

性质

• r(AB) \le \min (r(A), r(B)). 证明思路：直观上，r(B) 的意义是空间经过 B 变换后将压缩到 r(B) 维，此时再经过 A 的变换也不可能升高到更大的维数。空间的维数和向量组的秩可以通过基来沟通，因此，将 B 展开成列向量组，则 AB 的列向量组可由 B 线性表出，则极大无关组也可以线性表出，所以 r(AB) \le r(B)。

• Sylvester 不等式：设 A \in \mathbb{F}^{s \times n}, B \in \mathbb{F}^{n \times m}，则 r(AB) \ge r(A) + r(B) - n。 直观理解：最初的空间经过 B 的压缩，只剩下了 r(B) 个维度。而 A 可以视为 \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m 的线性变换，它最多只能压缩掉 n - r(A) 个维数的空间（维数公式），注意这些压缩的方向可能还和 B 有重复，所以：

• 当 P 可逆时，r(PQ) = r(Q)。 证明思路：极大无关组可以相互表出。 由此可以推出，初等变换不改变矩阵的秩。

• r(A + B) \le r(A) + r(B)。 证明思路：A + B 的列向量组可由 A 和 B 的列向量组线性表出，也就可以由它们的极大无关组的并线性表出。

• r(\operatorname{diag}(A, B)) = r(A) + r(B)。 利用相抵标准型，A 与 \operatorname{diag}(I_m, O) 相抵，B 与 \operatorname{diag}(I_n, O) 相抵，对 \operatorname{diag}(A, B) 做相应的初等变换，也可以将其化为 \operatorname{diag}(I_m, O, I_n, O) 的形式，因为初等变换不改变矩阵的秩，有 \operatorname{diag}(A, B) = m + n。

满秩方阵

满秩方阵 A 拥有许多等价性质。

设方阵 A \in \mathbb{F}^{n \times n}，以下几个条件互相等价：

• r(A) = n（满秩的定义）；
• \det A \ne 0；
• A 可逆；
• Ax = 0 有唯一零解；
• Ax = b 有唯一解；
• A 的列向量组线性无关。