有界变差函数（function of bounded variation）。
引入
弧长：平面上一条参数表示的曲线 C 为：
C: \begin{cases}
x = \varphi(t); \\
y = \psi(t); \\
\end{cases} \quad t \in [a, b].
我们定义它的弧长为，任意取定 [a, b] 的一有限个划分 T: a = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n = b，用折线近似其弧长：
l_T = \sum_{i = 1}^n \sqrt{ \left(\varphi(t_i) - \varphi(t_{i - 1})\right)^2 + \left(\psi(t_i) - \psi(t_{i - 1})\right)^2}.
显然，由于两点之间线段最短，折线近似的弧长总是不超过真实弧长。因此，我们将弧长定义为折线近似弧长的上确界：
L = \sup_{(t_0, t_1, \dots, t_n) \text{是} [a, b] \text{的划分}} \sum_{i = 1}^n \sqrt{ \left(\varphi(t_i) - \varphi(t_{i - 1})\right)^2 + \left(\psi(t_i) - \psi(t_{i - 1})\right)^2}.
显然，一条曲线可求长，当且仅当其任意划分得到的折线近似长度有一个不依赖于划分的上界，这样上确界就必定存在。而
\begin{aligned}
l_T &= \sum_{i = 1}^n \sqrt{ \left(\varphi(t_i) - \varphi(t_{i - 1})\right)^2 + \left(\psi(t_i) - \psi(t_{i - 1})\right)^2} \\
&\le \sum_{i = 1}^n \left| \varphi(t_i) - \varphi(t_{i - 1}) \right| + \left| \psi(t_i) - \psi(t_{i - 1}) \right|.
\end{aligned}
仅当一切的划分使得
\sum_{i = 1}^n \left| \varphi(t_i) - \varphi(t_{i - 1}) \right|
和
\sum_{i = 1}^n \left| \psi(t_i) - \psi(t_{i - 1}) \right|
都有界时，这个弧是可求长的。由此我们引出一个变差的定义。
定义
对于 [a, b] 上的有限值函数 f(x)，若对一个 [a, b] 的划分 T: a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b，称对应的变差（variation）为
V(T) = \sum_{i = 1}^n \left| f(x_i) - f(x_{i - 1}) \right|;
若所有 [a, b] 的划分对应的变差构成的数集 \{V(T): T \text{是} [a, b] \text{的划分}\} 有上界，则称 f(x) 在 [a, b] 上是一个有界变差函数（function of bounded variation），其变差的上确界称为全变差，记为
\bigvee_{a}^b f(x) := \sup \{V(T): T \text{是} [a, b] \text{的划分}\}.
Jordan 分解定理
定理
若 f(x) 是有界变差函数，则它可以分解为两个单调递增函数之差。
证明：令 g(x) = \bigvee\limits_{a}^x(f)，则显然 g(x) 单调递增。令 h(x) = g(x) - f(x)，则对任意的 a \le x_1 < x_2 \le b 有
\begin{aligned}
h(x_2) - h(x_1) &= (g(x_2) - g(x_1)) - (f(x_2) - f(x_1)) \\
&= \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f) - (f(x_2) - f(x_1)) \\
&\ge |f(x_2) - f(x_1)| - (f(x_2) - f(x_1)) \\
&\ge 0.
\end{aligned}
可导性
由 Jordan 分解定理和单调函数的 Lebesgue 定理，可以推论得到：
注意这个定理的逆命题不成立，几乎处处存在导数不能推出有界变差。例如，函数 f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x^2}) 在 x = 0 附近不是有界变差的，但是它在 \mathbb{R} 上可导。
Brown 运动的轨迹
定义参考：（链接未公开）
Brown 运动的轨迹几乎必然不是有界变差函数。
推广
p-变差
由于存在类似 Brown 运动的轨迹这样，一阶变差无穷大、二阶变差有限的函数，我们可以将变差的概念推广到 p 阶变差。定义区间 [a, b] 上函数 f 的 p-变差为：
\Vert f \Vert_{p\text{-var}} = \left(\sup_{a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b} \sum_{i = 1}^n |f(x_{i}) - f(x_{i - 1})|^p \right)^{\frac{1}{p}}.
对于非常数的连续函数，总是存在唯一的实数 s，使得 p < s 时 p-变差为无穷大，p > s 时 p-变差为 0。这一实数 s 往往被称为 variation exponent。