直线

方程

斜截式

直线的斜截式方程是

这种方程体现了直线和一次函数的关系。

一般式

直线的一般式方程是

其中 A, B 不同时为 0。向量 \boldsymbol{n} = (A, B) 是直线的一个法向量。

如果要让一般式方程具有唯一性，那么可以让 (A, B) 为单位向量，即规定 A^2 + B^2 = 1。此时，向量 \boldsymbol{n} = (A, B) 是直线的单位法向量。

对这个方程的一种典型解释是，该方程代表了位置向量 r = (x, y) 与法向量 n = (A, B) 的内积为定值的点的轨迹：

当 \boldsymbol{n} 是单位向量时，\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{n} 就成为了位置向量 \boldsymbol{r} 沿着方向 \boldsymbol{n} 的投影长度，此时 |C| 就代表了直线到原点的距离，而 -C 的符号则决定了直线在方向 \boldsymbol{n} 的哪一侧。

点向式和两点式

给定平面上一点 P_0(x_0, y_0) 和方向向量 t = (a, b)，则直线上的任意一点 P(x, y) 都满足 \overrightarrow{P P_0} \parallel t，展开后的点向式方程可以写为

由于以上方程是从 \overrightarrow{P P_0} \parallel t 翻译得到的，当 a = 0 或者 b = 0 时，尽管除法没有意义，我们仍然可以规定上述公式代表 \overrightarrow{P P_0} \parallel t 的含义。例如，一个经过点 (0, 2) 的平行于 x 轴的直线，方向向量为 t = (1, 0)，其点向式方程可以写为

点到直线的距离

对于一般式方程 l: Ax + By + C = 0，点 P(x_0, y_0) 到直线 l 的距离公式是

推导

上述公式可以转换为

也就是说我们可以视为对着法向量单位化的一般式方程进行讨论。

对于一般式方程 l: Ax + By + C = 0，A^2 + B^2 = 1，其单位法向量为 \boldsymbol{n} = (A, B)，要计算一点 P 到直线的距离，我们可以先计算它的位置向量 r 到 n 的投影 r \cdot n；投影是一个有正有负的数，它表征的是有向距离，而 -C 则表征了直线的“位置”，所以 r \cdot n - (- C) = r \cdot n + C 就是投影点到直线的距离之差。因此点到直线的距离为：

事实上，如果不加绝对值，d = A x_0 + B y_0 + C 还可以表征点在直线的哪一侧。