对合函数
对合（involution）函数指的是满足 f(f(x)) = x 的函数 x，也就是作用两次后回到自身的函数。
“对合”和“内卷”是同一个英语单词，均为 involution
典型的对合函数有取相反数 f(x) = -x，取倒数 f(x) = 1/x。
性质
定理
对合函数 f 的反函数是自身。也就是说，若 f(x) = y，则 f(y) = x。
证明：f(x) = y 两边再用 f 作用一次，就得到 f(f(x) = f(y)，即 x = f(y)。
推论：图像对称
若 f 是对合函数，则 f 的图像关于 y = x 对称；反之，若 f 的图像关于 y = x 对称，则 f 是对和函数。
推论
对合函数的定义域和值域相同。
实例
一切图像关于 y = x 对称的函数都是对和函数。
- 取相反数 f(x) = -x
- 斜率为 -1 的直线 f(x) = a - x
- 反比例函数 f(x) = k / x
- 旋转后的双曲线：f(x) = \sqrt{2} \sqrt{4 x^2+1}-3 x
例题
对合函数与周期函数
若 f(x) 是对合函数，满足 f(f(x)) = x，函数 g(x) 满足 g(x + a) = f(g(x))，则 2a 是 g(x) 的周期。
（考研练习题）
设 f \in C(-\infty, +\infty)，且 f(f(x)) = x，证明：存在 \xi \in \mathbb{R}，使得 f(\xi) = \xi。
证明
提示：结合 f 关于 y = x 的对称性来思考。 设 f(0) = a，两边用 f 作用，得到 0 = f(a)。 令 g(x) = f(x) - x，若 f(0) = 0，则命题已经成立；若 f(0) = a \ne 0 则 $g(0) g(a) = (f(0) - 0)(f(a) - a) = a \cdot (-a) = -a^2 < 0由零点定理，存在位于0和a之间的数\xi使得g(\xi) = 0，即f(\xi) = \xi$。
BEYOND THE ARTICLE
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