幂级数
收敛域
幂级数 \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n (x - x_0)^n 的收敛域在实轴上是以 x_0 为中心的一个区间；它在 (x_0 - R, x_0 + R) 内收敛，在区间外发散，左右端点需要单独判断。这里的 R 称为收敛半径。
幂级数总可以做一个平移，转化为形如 \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n 的幂级数。
收敛半径
Cauchy-Hadamard 定理：对于幂级数 \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n，令
l = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{ | a_n |},
则收敛半径 R = \frac{1}{l}，即在 x \in (-R, R) 内幂级数绝对收敛。
推论（d'Alembert 判别法）：若
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_n} \right|
收敛，且极限为 l，可证明此时 l = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{ | a_n |}，从而收敛半径 R = \frac{1}{l}。
收敛区间
幂级数求和
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