多项式矩阵

元素为多项式的矩阵称为多项式矩阵。这种情况下矩阵常取 \lambda 为文字，因此又称为 \lambda-矩阵。

多项式因子

行列式因子

定义

定义：\lambda I - A 的 m 阶行列式因子 D_m，定义为所有 m 阶子式的最大公因式。

性质

k 阶行列式因子一定整除 k + 1 阶行列式因子，即

不变因子

定义

不变因子定义为两个行列式因子之商：

其中规定 D_0 = 1，因此 d_1 = D_1。

性质

• Smith 标准形的对角线就是 \lambda I - A 的全部不变因子
• 不变因子之间依然存在整除关系，即 d_k \mid d_{k + 1}
• \lambda I - A 最大的不变因子就是 A 的最小多项式

初等因子

将不变因子分解为不可约多项式的方幂的乘积后，这些不可约多项式的方幂称为初等因子。

在复数域 \mathbb{C} 上，不可约多项式都是一次因式 \lambda - a，因此初等因子一定都形如 (\lambda - a)^k。