三维空间中的曲面
定义
在古典微分几何中，\mathbb{R}^3 的曲面定义为参数方程
\begin{cases}
x = x(u, v); \\
y = y(u, v); \\
z = z(u, v); \\
\end{cases}
\quad (u, v) \in D.
所描述的二维区域。这个参数方程也简记为 (x, y, z) = r(u, v)，其中要求 x, y, z \in C^{\infty}，且要求在任意的位置，r_u = (\frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial u}) 和 r_v = (\frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial z}{\partial v}) 作为两个向量线性无关。
切平面
对于曲面 S，设描述它的参数方程为 r: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3，在点 P \in S 处，我们可以写出点 P 的曲纹坐标 P = r(a, b)。则偏函数 r^1(u) = r(u, b) 和 r^2(v) = r(a, v) 构成了两条曲线，可以定义它们在点 P 的切向量 r_u(a, b) 和 r_v(a, b)。于是，我们定义切平面为
T_P S := \operatorname{span}(r_u(a, b), r_v(a, b)).
此处，T_P S 指的是一个向量空间，严格来说它是与切平面平行且过原点的平面。
切平面的第二定义：T_P S 等于过点 P 的曲线的切向量全体。
第一基本形式
曲面 S 的第一基本形式是
\mathrm{d}s^2 = E \mathrm{d}u^2 + 2 F \mathrm{d}u \mathrm{d}v + G \mathrm{d}v^2.
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