收敛概念

依分布收敛

依概率收敛

若随机变量序列 X_n 与 X 存在如下关系：对于任意的的正数 \varepsilon，都有

则称 X_n 依概率收敛（convergence in probability）于 X，记为 X_n \xrightarrow{P} X。

依概率收敛是依测度收敛的一种特殊情况，但是

r 阶收敛

给定一个正实数 r，若随机变量序列 X_n 与 X 存在如下关系：

则称 X_n r 阶收敛于 X。

当 r = 2 时，称为均方收敛。

几乎必然收敛

若若随机变量序列 X_n 与 X 存在如下关系：

则称 X_n 几乎必然收敛于 X，或称 X_n 以概率 1 收敛于 X。

强大数定律

事件列的极限

定义集合的上极限为：

集合列的下极限为：

在概率论中，{\overline \lim}\limits_{n \to \infty} A_n 表示 A_n 有无穷多个发生，往往记为 \{ A_n \ \text{i.o.} \}，其中 i.o. 表示 infinitely often；{\underline \lim}\limits_{n \to \infty} A_n 则表示 A_n 至多有限次不发生，往往记为 \{ A_n \ \text{ult.} \}，其中 ult. 表示 ultimately。

若一列集合 A_n 的上极限和下极限相等，则称 A_n 收敛。也即，若

则称

Borel-Cantelli 引理

（第一引理）若事件列 A_n 的概率构成的无穷级数 \sum\limits_{n = 1}^{\infty} P(A_n) 收敛（收敛于有限值），则

（第二引理）若事件列 A_n 相互独立，则 \sum\limits_{n = 1}^{\infty} P(A_n) 发散到 + \infty 等价于

对于 Borel-Cantelli 第一引理的解释是，若 A_n 的概率值快速缩小以至于能使无穷级数收敛，则它们几乎不可能发生无穷多次，也就是它们上极限的概率为 0。