定义

给定矩阵 A \in \mathbb{F}^{m \times n} 和列向量 b \in \mathbb{F}^m，设 x = (x_1, \dots, x_n)^{\mathrm T} 为未知数，则方程组

称为线性方程组（system of linear equations）。

当 b = 0 时，方程组称为齐次线性方程组（system of homogeneous linear equations）；b \ne 0 则称为非齐次线性方程组，并称 Ax = 0 是其对应的齐次方程组，或其导出组。

Cramer 法则

解的结构

使方程 Ax = b 成立的向量 x 称为线性方程组的解。

有解判别定理

若系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即 r(A) = r(\bar{A})，则线性方程组 Ax = b 有解。

对于齐次线性方程组，零向量必定是方程的一个解，因此必定有解。

可以证明，当 r(A) \ne r(\bar{A}) 时，必定有 r(A) + 1 = r(\bar{A})，其增广矩阵的行阶梯型将形如：

这意味着原方程组将等价于一个含有 0 = 1 的方程组，显然这个方程组将无解。

解空间、基础解系

设 A \in \mathbb{F}^{m \times n}，若齐次线性方程组 Ax = 0 有解，则集合 S = \{x \in \mathbb{R}^n: Ax = b\} 是线性变换 A: \mathbb{F}^{n} \to \mathbb{F}^{m} 的零空间，从而是 \mathbb{F}^{n} 的一个线性子空间，称为解空间。

解空间的一组基称为 Ax = 0 的基础解系。具体地说，基础解系指的是满足以下两个条件的一组列向量 \eta_1, \dots, \eta_t：

• \eta_1, \dots, \eta_t 线性无关；
• 任意一个 Ax = 0 的解 x 都可以表示为 \eta_1, \dots, \eta_t 的线性组合。

解空间的维数 \dim S（也就是基础解系的向量个数）具有如下性质：

由于解空间就是 A 的零空间，这就是维数公式的推论。

非齐次线性方程组

非齐次线性方程组的解集为

因为 b \ne 0，S' 并不是一个线性子空间。

若找到一个向量 \gamma 满足 A\gamma = b，则称 \gamma 是非齐次线性方程组的一个特解。如果能找到一个特解 \gamma，则 Ax = b = A \gamma 可以继续写为 A(x - \gamma) = 0，从而方程组转化为了齐次方程组。若齐次方程组的解集为 S，则非齐次方程组的解集就为：

因此，非齐次线性方程组的解是一个仿射集（affine subset），也称为线性流形（linear manifold）。

Gauss-Jordan 消元法

思路：