开集的构造
在实变函数和点集拓扑中，开集总是能表示为较为简单的集合的并。
一维开集的结构表示
构成区间
设 G 是非空有界开集，任取 x_0 \in G，如果区间 (\alpha, \beta) \in G，且满足：
- (\alpha, \beta) \subset G；
- \alpha, \beta \notin G； 则称 (\alpha, \beta) 是 G 的 构成区间
开集的结构表示
开集的一个重要性质：
定理
实数集上的非空有界开集 G 可表示为至多可列个不相交区间的并：
G = \bigcup_{k} \left(\alpha_k, \beta_k \right).
上述分解称为 G 的结构表示。显然一个开集的结构表示是唯一的。
高维开集的结构表示
半闭正方形
形如 [x_1, x_1 + h) \times \cdots \times [x_n, x_n + h) 的集合，称为半闭正方形。
高维开集的结构表示
高维开集可以表示为一些半闭正方形的并，但这种表示方法没有唯一性。
定理
\mathbb{R}^n 上的非空有界开集 G 可表示为至多可列个不相交半闭正方形的并：
G = \bigcup_{k} Q_k
当 n = 1 时，这相当于用至多可列个半开半闭区间 [a, b) （或者 (a, b]）来表示一个直线上的开集。显然这没有唯一性，因为对于构成区间 (a, b)，取 (a, b) 中一列趋于 n 的严格递增序列 a < x_1 < x_2 < \cdots \to b，令 x_0 = a，则构成区间可以表示为
(a, b) = (a, x_1] \cup (x_1, x_2] \cup \cdots =\bigcup_{i = 1}^{\infty} (x_{i - 1}, x_i].
将所有的构成区间用上述方法表示为可列个区间之并，注意可列个可列集之并仍然可列，因此开集就表示为了可列个半开半闭区间之并。由于严格递增序列可以任取，这种表示方法并没有唯一性。
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