本文记录一些学习复内积空间时，必须抛弃的实内积空间的负迁移思维，以及如何建立复内积空间的直观想象。

非对称性

内积的共轭

在复线性空间中，内积只对一个元有线性。当交换两个元时，会取共轭：

\langle u, v \rangle = \overline{\langle v, u \rangle}.

本文约定内积 \langle u, v \rangle 总是对第一个元线性，即

\langle a u, b v \rangle = a \bar{b} \langle u, v \rangle.

而使用 Dirac 记号表示的内积总是对第二个元线性，即

\langle a u | b v \rangle = \bar{a} b \langle u | v \rangle.

在 \mathbb{C}^n 的标准内积上，设 u = (x_1, \dots, x_n)，v = (y_1, \dots, y_n)，则有

\langle u, v \rangle = x_1 \bar{y}_1 + \cdots + x_n \bar{y}_n.

在复内积空间中，向量 v 往单位向量 e 的投影系数为 \langle v, e \rangle，投影向量为 \langle v, e \rangle e。即，总是要把投影轴放在复共轭的元上。

可以联想一维复内积空间 \mathbb{C}^1，此时任何一个向量都是一个复数。而直观地想象，任何一个数对 1 投影都应该等于它本身。如果我们把被投影向量放在线性元上，那么：

\langle 1, x \rangle = \bar{x}.

这与我们投影的直觉相悖。

相应地，Schmidt 正交化的过程也应该写作：

v_i = u_i - \frac{\langle u_i, u_1 \rangle}{\| u_1 \|^2} u_1 - \cdots - \frac{\langle u_i, u_{i - 1} \rangle}{\| u_{i - 1} \|^2} u_{i - 1}.

在复内积空间中，尽管 e_1 = (1, 0, \dots, 0) 和 e_2 = (i, 0, \dots, 0) 会张成同一个一维子空间，但是投影系数一般而言不会相同：

\langle v, e_1 \rangle \neq \langle v, e_2 \rangle.

但是，如果观察两者导出的在一维子空间上的投影向量，则它们是一致的：

\langle v, e_1 \rangle e_1 = \langle v, e_2 \rangle e_2.

这实际上可以类比实空间上，v 往 e_1 = (1, 0, \dots, 0) 和 e_2 = (-1, 0, \dots, 0)。这里 e_1 和 e_2 也是张成同一子空间的不同单位向量，因此往往也有

\langle v, e_1 \rangle \neq \langle v, e_2 \rangle, \quad \langle v, e_1 \rangle e_1 = \langle v, e_2 \rangle e_2..

但是这里 e_1 和 e_2 只有方向相反，几何上系数也只差一个负号，非常直观；而复数则携带了更为复杂的相位信息。

考虑一维复空间上的向量 v = r e^{i \alpha} 和 w = e^{i \beta}，则有

\langle v, w \rangle = r e^{i (\alpha - \beta)}.

可以看到投影系数携带了相位信息 \alpha - \beta，它表征了两个向量在相位（幅角）上的差异。

在泛函分析的思想中，选择合适的泛函可以测试出函数、算子、空间的性质。一般情况下，内积的相位信息被杂糅在了一起，而合适的向量则可以提取出独特的相位信息。