闭区间上连续函数的性质定理

零点定理

若 f(x) 在 [a, b] 连续，且 f(a) f(b) < 0（即 f(a) 和 f(b) 异号），则存在一点 c，使得 f(c) = 0。

二分法证明

对 [a, b] 使用二分法。不妨设 f(a) < 0 而 f(b) > 0，令区间 [a_1, b_1] = [a, b]。

令 m_1 = \frac{a_1 + b_1}{2}，若 f(m_1) = 0，令 c = m_1，定理已经成立；若 f(m_1) > 0 则令 a_2 = a_1, b_2 = m_1，若 f(m_1) < 0 则令 a_2 = m_1, b_2 = b_1，得到闭区间 [a_2, b_2]，且 f(a_2) < 0, f(b_2) > 0。对 [a_2, b_2] 重复以上过程。则要么在有限步停下得到一个零点 c，要么得到一个无限闭区间列 \{[a_i, b_i]\}，且 f(a_i) < 0，f(b_i) > 0。

当我们得到一个无限闭区间列 \{[a_i, b_i]\} 时，应用闭区间套定理，知道存在一点 c 使得 \lim\limits_{n \to \infty} a_n = \lim\limits_{n \to \infty} b_n = c。由于 f(x) 在 [a, b] 连续，由 Heine 定理有 \lim\limits_{n \to \infty} f(a_n) = \lim\limits_{n \to \infty} f(b_n) = f(c)。由于恒有 f(a_i) < 0，f(b_i) > 0，可知 \lim\limits_{n \to \infty} f(a_n) = f(c) \le 0，\lim\limits_{n \to \infty} f(b_n) = f(c) \ge 0，这说明 f(c) = 0。

当 f(a) > 0 而 f(b) < 0 时，只需令 g(x) = -f(x) 然后对 g(x) 应用上述证明即可。

这个证明过程同时给出了二分法求零点近似值的原理，参考 （链接未公开）。

确界法证明

构造集合 S = \{ x: f(x) < 0, x \in [a, b] \}，令 x_0 = \sup S，下证 x_0 就是 f(x) 的零点。

不妨设 f(a) < 0 而 f(b) > 0。若 f(x_0) > 0，则可以找到一个小区间 (x_0 - \delta, x_0)，在这个区间内恒有 f(x) > 0；而又因为 x_0 = \sup S，所以可以找到一个数 x_1 \in S 使得 x_0 - \delta < x_1 < x_0，则 f(x_1) 既小于 0 又大于 0，矛盾。若 f(x_0) < 0，则由 f(x) 的连续性，可以找到一个小区间 (x_0, x_0 + \delta')，在这个区间内恒有 f(x) < 0，则存在更大的数 x_1 > x_0 使得 f(x_1) < 0，与 x_0 = \sup S 矛盾。这说明只能有 f(x_0) = 0。