Riemann 积分
定义
设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上有定义，给出区间的一个划分 P 为一个有限长的递增列 a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b，对一个函数和划分，指定一种取点方法 \xi_i \in [x_{i - 1}, x_i]，可以定义 Riemann 和：
\sum_{i = 1}^n f(\xi_i) (x_{i} - x_{i - 1}).
设划分的最大区间长度 \lambda = \max\limits_{1 \le i \le n} x_i - x_{i - 1}，如果无论如何给定划分，无论如何取点，极限
\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n f(\xi_i) (x_{i} - x_{i - 1})
都收敛于同一个数 A，那么就称这个数 A 是 f(x) 在 [a, b] 上的定积分，记作：
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x = A.
警告
上述极限中，\lambda 似乎是一个因变量，为什么也可以让因变量“趋于” 0 呢？
其实根据极限的定义，这展开了只是一套 \epsilon-\delta 语言描述的条件，本身并没有“操作某个变量，使它越来越接近 0”的定义。换句话说，我们只是在说，当 \lambda 满足条件 |\lambda - 0| < \delta 时，总有 \left| \sum\limits_{i = 1}^n f(\xi_i) (x_{i} - x_{i - 1}) - A \right| < \epsilon。
BEYOND THE ARTICLE
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