超实数

实数的扩充

超实数可以由一列实数数列生成。

超滤子

设指标集 I = \mathbb{N}，若 \mathcal{U} \subset \mathcal{P}(I) 满足以下 5 个公理，则称为非主超滤子：

1. 非空和排空：\varnothing \notin \mathcal{U} 且 \varnothing \neq \mathcal{U}
2. 对交封闭：A \in \mathcal{U}, B \in \mathcal{U}，则 A \cap B \in \mathcal{U}
3. 超集封闭：若 A \subset B \subset I，且 A \in \mathcal{U}，则 B \in \mathcal{U}
4. 极大性：对任意 A \subset I，要么有 A \in \mathcal{U}，要么有 A^c \in \mathcal{U}，且两者不能同时成立
5. 排有限集：任何有限集都不在 \mathcal{U} 中 满足性质 1~3 的集族称为滤子，满足 1~4 的称为超滤子。

非主超滤子规定了什么样的集合是“大”集合。由非主超滤子，可以给实数序列划分等价类，从而定义出超实数。

超滤子使我们可以对任意实数数列都指定一个“极限”，无论其是否收敛。对于一般意义上不收敛的数列，超滤子会在数列的极限点中选择一个值作为“极限”。

定义：对于两个实数数列 a_n, b_n，若它们相等的下标是一个大集合，也就是 \{n \in \mathbb{N}: a_n = b_n\} \in \mathcal{U}，则称两个实数数列等价。

定义：超实数就是全体实数列 \mathbb{R}^{\infty} 在商去等价类后得到的集合，记为 \mathbb{R}^*。若实数列 x_n 对应的超实数是 x^*，则可以记为 x^* = \lim\limits_{\mathcal{U}} x_n。

类似于实数是在有理 Cauchy 数列上规定相等、商掉等价类得到的，超实数也可以看做实数数列上规定相等、商掉等价类得到的。

传递原理

任意关于 \mathbb{R} 成立的一阶逻辑命题，在 \mathbb{R^*} 中也成立。

一阶逻辑指的是，量词只包含元素而不包含全体子集的命题。例如，“对任意的实数 c，f(x) = x^2 在 c 连续”是一阶逻辑，因为只涉及 \forall c \in \mathbb{R} 这种从集合取元素的量词；“所有非空有界实数集都有上确界”则不是一阶逻辑，因为涉及了 \forall S \subset \mathbb{R} 这种从集合取子集的运算。

传递原理的证明

思路：我们可以利用实数的公理化定义，首先逐条验证实数的公理（加法、乘法、比较等）在超实数上成立。这些命题将构成实数许多性质的“原子命题”。

然后，利用超滤子的性质，证明命题在与、或、非、任意量词、存在量词下仍然成立。

由于任意命题都可以由这些基本元素组装而成，所以传递原理对任意命题成立。

超实数的运算

超实数的任何运算都定义为实数列的逐项运算。例如，设 x^* = \lim\limits_{\mathcal{U}} x_n，y^* = \lim\limits_{\mathcal{U}} y_n，则有

传递原理保证了上述定义一定是良定义的，即无论为超实数 x^* 选择哪个代表数列 x_n，其运算结果都是相互等价的，也就决定了同一个超实数。

导数

对于标准实函数 f(x)，若对任意的无穷小 \varepsilon，其差商的标准部分

给出了同一个标准实数，则称这个标准实数为导数。

定积分