确界存在定理

对于非空有上界的实数集 S，设其上界的集合为 T = \{ M: \forall x \in S, M \ge x \}，则 T 必定存在最小值。称这个最小上界值为 S 的上确界（supremum），记为 \sup S。

同样地，对于非空有下界的实数集 S，设其下界的集合为 T = \{ m : \forall x \in S, m \le x \}，则 T 必定存在最大值。称这个最大下界值为 S 的下确界（infimum），记为 \inf S。

证明

这里由 Cauchy 收敛原理证明。

单调有界收敛原理

若实数列 \{x_n\} 单调增加且有上界，则其必定收敛。

证明

设实数列 \{ x_n \} 单调增加，其值域为 S，则 S 是一个有界的实数集，设其上确界为 l。则由上确界的性质，对任意的 \varepsilon > 0，都存在 N \in \mathbb{N}，使得 x_N \ge l - \varepsilon。因为 \{ x_n \} 单调递增，所以对任意 n \ge N，都有 x_n \ge x_N > l - \varepsilon。又有 x_n \le l < l + \varepsilon，因此对所有 n \ge N 有

因此，由极限的定义：

闭区间套定理

若一列单调递减的闭区间，其区间长度趋于 0，则存在唯一的实数 \xi，它属于所有的闭区间。

也就是说，设 \{ [a_n, b_n] \} 满足：

• \forall i \in \mathbb{N}^+, [a_{i}, b_{i}] \supset [a_{i + 1}, b_{i + 1}]；
• \lim_{n \to \infty} b_n - a_n = 0； 则存在唯一的实数 \xi，满足 \forall n: \xi \in [a_n, b_n]。

证明

存在性：由于闭区间的端点 a_n, b_n 形成了两个单调有界数列，它们都有极限。设 \xi = \lim_{n \to \infty} {a_n}，则有 \xi = \lim_{n \to \infty} b_n。显然，对所有的 n，都有 a_n \le \xi \le b_n。

唯一性：设 \eta 也属于所有的闭区间，则 \eta 大于等于所有的 a_n，也就大于等于 \sup a_n = \lim_{n \to \infty} a_n = \xi。同理 \eta 小于等于所有的 b_n 可推出 \eta \le \xi，因此 \eta = \xi。

致密性定理（Bolzano-Weierstrass 定理）

有界的实数列必有收敛的子数列。

证明

二分区间。

Cauchy 收敛原理