7.A Adjoints
伴随映射
伴随映射的定义
设 T \in \mathcal{L}(V, W)，则 T 的伴随映射（adjoint）T^*: W \to V 定义为满足
\langle Tv, w \rangle = \langle v, T^*w \rangle
的唯一映射。
良定性
借助 Riesz 表示定理，可以验证以上定义为何唯一确定一个映射。构造线性泛函 \varphi 为
\varphi(v) = \langle Tv, w \rangle,
由 Riesz 表示定理，可以找到唯一的一个向量 u，使得
\varphi(v) = \langle v, u \rangle.
令 T^*w = u，则 T^* w 存在且唯一，满足良定性。
例
定义 T(x_1, x_2, x_3) = (x_2 + 3 x_3, 2 x_1)，则
\begin{aligned}
&\langle T(x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2) \rangle \\
=& \langle (x_2 + 3 x_3, 2 x_1), (y_1, y_2) \rangle \\
=& 2x_1 y_2 + x_2 y_1 + 3 x_3 y_1 \\
=& \langle (x_1, x_2, x_3), (2 y_2, y_1, 3 y_1) \rangle
\end{aligned}
所以 T^* (y_1, y_2) = (2 y_2, y_1, 3 y_1)。
性质
T^* 仍然是一个线性映射。
伴随映射与共轭转置
设线性映射 T 的矩阵为 A，则 T^* 对应的矩阵为 A^{\mathrm H}。
特殊地，在实内积空间上，T^* 对应的矩阵为 A^{\mathrm T}，这是转置的一种几何意义。
BEYOND THE ARTICLE
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