概念

线性泛函

线性泛函（linear functional）也称为线性函数，指的是从线性空间 V 到域 \mathbb{F} 的一个映射。

例如，\mathbb{R}^3 到 \mathbb{R} 的映射 f(x, y, z) = 3x - 4y + z 是一个线性泛函。在多项式空间 \mathcal{P}(\mathbb{R})（也记为 \mathbb{R}[x]）上，定义映射

则 \varphi 是一个线性泛函。

对偶空间

从 V 到 \mathbb{F} 的全体映射 \mathcal{L}(V, \mathbb{F})，在其上定义加法和数乘：

则 \mathcal{L}(V, \mathbb{F}) 构成一个线性空间，称为 V 的对偶空间（dual space），记为 V'。

性质

对于有限维线性空间，对偶空间的维数和原空间相同：

对偶基

设 e_1, \dots, e_n 是线性空间 V 的一组基，定义 n 个线性泛函 \varphi_1, \dots, \varphi_n，满足：

则称 \varphi_1, \dots, \varphi_n 是 e_1, \dots, e_n 的对偶基（dual basis）。可以验证，这样定义的线性泛函是唯一的，且它们也是 V' 的一组基。

性质

对偶基描述了向量做分解后的系数，取出向量 v 在 e_j 上的分量。对任意 v \in V，设 e_1, \dots, e_n 是 V 的一组基，\varphi_1, \dots, \varphi_n 是对偶基，则有：

对偶映射

设 T \in \mathcal{L}(V, W) 是一个线性映射，则定义它的对偶映射（dual map）T' \in \mathcal{L}(W', V') 为

以上的映射 \varphi 从 W 映射到 \mathbb{F}，而 T 则从 V 映射为 W，所以 T'(\varphi) = \varphi \circ T 从 V 映射到 \mathbb{F}。

性质

对偶映射 T' 也是一个线性映射。

例

在多项式空间 \mathcal{P}(\mathbb{R}) 上，设线性算子 D 为求导算子，线性泛函 \varphi 为取 x = 3 的值，即

则 D 的对偶映射 D' 为 D'(\psi) := \psi \circ D。例如，D'(\varphi) = \varphi \circ D，于是对任意多项式 p，有

对偶映射与转置

设 T \in \mathcal{L}(V, W) 是一个线性映射，在 e_1, \dots, e_n 和 f_1, \dots, f_m 这两组基下表示的矩阵为 A，则 T 的对偶映射 T' 在相应的对偶基下的矩阵为 A 的转置 A^{\mathrm T}。

关键定理

零化子

这是一个沟通零空间和对偶映射值域的桥梁。

零化子（annihilator）：对一个子空间 U，其零化子指的是将其中所有向量映射为 0 的线性泛函。也即，若 \varphi \in V'，且 \forall x \in U, \varphi(u) = 0，则 \varphi 是 U 的零化子。

U 的全体零化子构成的集合称为 U^0。

零化子的性质

零化子的维数公式：\dim U^0 + \dim U = \dim V

核的零化子关系：(\operatorname{null} T)^0 = \operatorname{range} T'

矩阵的秩

行秩等于列秩

设矩阵 A 是某个线性映射 T \in \mathcal{L}(V, W) 在基 (e_1, \dots, e_n) 和 (f_1, \dots, f_n) 下的矩阵表示，则

因此，矩阵的行秩等于列秩。