矩阵序列

极限

两种等价定义：称 m \times n 矩阵序列 A_k 的极限是 A，当

• A_k 的所有元素 a_{ij}^{(k)} 都收敛于 a_{ij}；
• 对任意给定的正数 \varepsilon，总存在正整数 N，当 n > N 时，有 \Vert A_k - A \Vert < \varepsilon。其中 \Vert \cdot \Vert 为任意一个矩阵范数； 此时记 \lim\limits_{k \to \infty} A_k = A。

极限的性质

• 线性：\lim\limits_{k \to \infty} (\alpha A_k + \beta B_k) = \alpha \lim\limits_{k \to \infty} A_k + \beta \lim\limits_{k \to \infty} B_k；
• 乘积可交换：\lim\limits_{k \to \infty} (A_k B_k) = \lim\limits_{k \to \infty} A_k \cdot \lim\limits_{k \to \infty} B_k；
• 逆可交换：若 \lim\limits_{k \to \infty} A_k = A，且 A_k, A 均可逆，则 \lim\limits_{k \to \infty} A_k^{-1} = A^{-1}。

收敛矩阵

定义：若当 k \to \infty 时，矩阵的 k 次幂 A^k 收敛于零矩阵 O，则 A^k 是收敛矩阵。

定理：矩阵收敛的充分必要条件 \lim\limits_{k \to \infty} A^k = O 的充分必要条件是 \rho(A) < 1，其中 \rho (A) = \max(|\lambda_1|, \dots, |\lambda_n|) 是 A 的谱半径。

推论：矩阵收敛的充分条件 若存在一个矩阵的范数 \Vert \cdot \Vert，满足 \Vert A \Vert < 1，则 A 是收敛矩阵。

矩阵级数

经典矩阵级数

几何级数：

矩阵函数

基本性质

性质：若 f(x) 是一个通过幂级数定义的函数（因此它既可以是实变函数，又可以是矩阵函数），则对于对角形矩阵 D = \mathrm{diag}(d_1, \dots, d_n)，有

常见矩阵函数

一般借助 Taylor 级数来定义。例如

• \mathrm{e}^{A} = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} A^k；

计算方法

Jordan 标准型

待定系数法

对矩阵 A，找到一个多项式 \psi 满足 \psi(A) = O（例如特征多项式或最小多项式），设待求的矩阵函数为

令幂级数 f(x) 对 \psi(x) 作带余除法，得到

则余式 r(x) 的次数必定低于 \psi(x)，因此是一个有限项的多项式。又因为 \psi(A) = O，上式中令 x = A 有：

因此要求 f(A) 只需要确定 r(x) 的各项系数 r_0, r_1, \dots, r_{n - 1}。由带余除法关系式：

可以想到，如果令 x 等于 \psi(x) 的零点 \lambda，则可以直接沟通 f 和 r，即

而当我们将 \psi 取为 A 的特征多项式时，\psi 恰好有 n 个根。当这些根不重复时，这 n 个方程刚好足够确定 n 个系数。如果有重根，我们可以对多项式求导：

当 \lambda 是重根时，有 \psi'(\lambda) = 0。三重根、四重根以此类推，继续求导即可。于是，无论有无重根、重数如何，我们都可以凑出 n 个方程。而待求函数 f(x) 在复数域上往往就是我们通常认识的复变函数，代入复数时直接计算即可。