矩阵的行秩等于列秩有多种证法，其中 Linear Algebra Done Right 给出的对偶空间法可以较为清楚地证明这一性质。

概念定义

线性泛函

线性空间 V 上的线性泛函（linear functional）指的是 V 到底域 \mathbb{F} 的线性映射。

如同普通的线性映射一样，线性泛函可以定义加法和数乘。

对偶空间

线性空间 V 上的全体线性泛函组成的集合称为 V 的对偶空间，记为 V'。

也即：V' = \mathcal{L}(V, \mathbb{F})。

对偶基

对偶映射

对于线性映射 T: V \to W，对偶映射是一个 W' 的元素映射到 V' 的线性映射，定义为：

零化子

对于子空间 U，若线性泛函 \varphi 满足：对任意 u \in U 有 \varphi(u) = 0，则称 \varphi 是 U 的零化子（annihilator）。

U 的全体零化子记为 U^0，可以证明 U^0 是 V' 的子空间。

定理

基本性质

• \dim V' = \dim V；
• U^0 是 V 的子空间；

零化子与对偶

• \dim U + \dim U^0 = \dim V

证明：取 U 的一组基 u_1, \dots, u_m，将其扩张为 V 的一组基 u_1, \dots, u_n，设其对偶基为 \psi_1, \dots, \psi_n，则只需证明 U^0 = \operatorname{span}(\psi_{m+1}, \dots, \psi_n) 即可。

设 \varphi = b_{m+1} \psi_{m+1} + \cdots + b_{n} \psi_n，则对任意 u \in U，因为 u = b_1 u_1 + \cdots + b_n u_n，而对偶基 \psi_{m+1}, \dots, \psi_n 作用于 u_1, \dots, u_m 上都得 0，故 \varphi(u) = 0，即 \varphi \in U^0；反过来，若 \varphi \in U^0，展开为对偶基：b_1 \psi_1 + \cdots + b_n \psi_n，则由于 u_1, \dots, u_m \in U，\varphi(u_1) = 0, \dots, \varphi(u_m) = 0，又有 \varphi(u_1) = (b_1 \psi_1 + \cdots + b_n \psi_n)(u_1) = b_1, \dots, \varphi(u_1) = (b_1 \psi_1 + \cdots + b_n \psi_n)(u_m) = b_m，所以得到 b_1 = \cdots = b_m = 0，即 \varphi = b_{m+1} \psi_{m+1} + \cdots + b_n \psi_n。

• \operatorname{null} T' = (\operatorname{range} T)^0

证明：按定义验证即可。\varphi \in \operatorname{null} T' 等价于 T'(\varphi) = \varphi \circ T = 0，等价于对任意 Tv \in \operatorname{range} T，有 \varphi(Tv) = (\varphi \circ T)(v) = 0，等价于 \varphi \in (\operatorname{range} T)^0。

• \dim \operatorname{range} T = \dim \operatorname{range} T'

证明：

线性映射与矩阵

• 设 V, W 是域 \mathbb{F} 上的两个线性空间，e_1, \dots, e_n 和 f_1, \dots, f_m 是两组基，对应的对偶基分别为 \varphi_1, \dots, \varphi_n 和 \psi_1, \dots, \psi_m，对于一个线性映射 T \in \mathcal{L}(V, W)，若其在两组基上对应的矩阵为 A，则其对偶映射 T' \in \mathcal{L}(W', V') 在两组对偶基上对应的矩阵为 A^{\mathrm{T}}。

证明：

• 设 V, W 是域 \mathbb{F} 上的两个线性空间，e_1, \dots, e_n 和 f_1, \dots, f_m 是两组基，对于一个线性映射 T \in \mathcal{L}(V, W)，若其值域为 \operatorname{range} T，其在两组基上对应的矩阵为 A，矩阵 A 的列秩记为 \operatorname{cr} A，则 \operatorname{cr} A = \dim \operatorname{range} T。

证明：