在一颗无根树中，若选择某节点为根后，可以使得最大的子树的节点数最小，则该点称为树的重心。树的重心有许多有用的性质，例如最小距离和。

等价性质

等价性质的任意一条都可以作为重心的另一个定义。

定义：最大子树最小

在一颗无根树中，若选择某节点为根后，可以使得最大的子树的节点数最小，则该点称为树的重心。

子树大小不超过一半

性质

以重心为根时，所有子树的节点数不超过全树节点数的一半。

证明：设该树有 n 个节点，g 为重心（以 g 为根时最大子树最小），设 a_1, a_2, \dots, a_m 为 g 的全部子节点。设 s(u) 表示以 g 为根的有根树中，以 u 为根节点的子树大小。

假设 s(a_1) > n / 2，则显然以 a_1 为根的子树是最大子树，且 s(a_2) + \cdots + s(a_n) < n / 2 - 1。转以 a_1 为根（函数 s 意义不改变，依然是在以 g 为根的树中讨论），设 b_1, \dots, b_l 为 a_1 的全部子节点，此时 a_1 的子节点为 g, b_1, \dots, b_l，以 g 为根的子树大小 s(a_2) + \cdots + s(a_n) + 1 < n / 2 < s(a_1)，而显然 以 b_1, \dots, b_l 为根的子树大小也小于 s(a_1)，故以 a_1 为根时，最大子树大小小于原来的最大子树大小 s(a_1)，与 g 为使最大子树的大小最小的节点矛盾。

判定

若以某点为根时，所有子树的节点数不超过全树节点数的一半，则该点为重心。

设树的大小为 n，并且以 g 为根时，子树大小不超过一半。下文用”子树 a“表示 g 为根时，以 a 为根的子树，用 n(a) 表示其大小（节点数）。假设 g 的一个子节点为 a_1。

若子树 a_1 的大小严格小于n / 2，不失一般性，假设 a_1 是重心，则由重心的性质，其子树大小不超过 n / 2，但此时以 g 为根的子树大小 m 满足 m + n(a_1) = n，即 m = n - n(a_1) > n / 2，矛盾。故 a_1 不可能是重心。以 a_1 的子节点为根时，亦包含了以 g 为根的子树，其最大子树大小将更大，同样不可能是重心。

若子树 a_1 的大小等于 n / 2，则 g 的最大子树大小为 n / 2。以 a_1 为根时，以 g 为根的子树大小等于 n - n(a_1) = n / 2，即 a_1 的最大子树大小也为 n / 2。而以其他点为重心时，都必定包含 g 或 a_1 为根的子树，最大子树大小大于 n / 2，比 g 和 a_1 的最大子树大，不可能是重心。故 g 和 a_1 的最大子树大小都为 n / 2，两者都为重心。

推论

当树的节点数 n 为奇数时，这棵树有且只有一个重心；当 n 为偶数时，树至多有两个重心，且此时两个重心必定邻接。

距离和最小

性质

若 g 为重心，则在树中所有点到某点的距离和中，到 g 的距离和最小。如果树有两个重心，则它们的距离和相等。

证明思路：设 d(u) 为所有节点到 u 的距离和，观察从重心移动到其他点时，对重心的贡献（某些节点的距离 +1，某些距离 -1，总贡献）

判定

若树到所有点的距离和中，到 g 点的距离和最小，则 g 为重心。

带权重心

若每个节点带一个权重，树的大小定义为全部节点的权重和，则依然可以定义重心，重心的很多性质依然成立。

子树大小

子树的大小也应该相应地定义为节点权重和。此时，选择某节点为根后，可以使得最大的子树大小最小，则该点称为树的重心。